Question

Hr

線を引いたところの求め方を解説お願いします🙇🏻‍♀️書き込みは無視してください

数学ⅡⅠ 数学B 第3問~ 第5問は,いずれか2問を選択し, 解答しなさい。
第4問 (選択問題)(配点20)
机の上にカードAとカードBがある。 2枚のカードはいずれも, 表面に数を書い
たり消したりすることができる。 最初, カードAには1が, カードBには2が書か
れており,これを「初めの状態」 と呼ぶことにする。
この2枚のカードに対し, 花子さんは操作Hを, 太郎さんは操作Tを行う。
一操作】
INSULO AU
操作H: カードAにaが, カードBにbが書かれているとき, カードAは
a +26 に書き換え, カードBはものままにする。
次
操作T: カードAにaが, カードBにbが書かれているとき, カードAは
a +46 に書き換え, カードBはαに書き換える。
nを0以上の整数とする。 初めの状態から操作Hと操作Tを合計2回行ったとき,
カードAに書かれている数をan, カードBに書かれている数をbm とする。 ただし
n=0のときはそれぞれ, 初めの状態でカード A, B に書かれている数とする。 す
なわち, 4=1,bo=2とする。
たとえば,初めの状態から花子さんが操作Hを1回行うと, カードAには5が,
SOSED SHEER
カードBには2が書かれるので, a1=5, b=2となる。
また, 初めの状態から太郎さんが操作Tを1回行うと, カードAには9が, カー
ドBには1が書かれるので, 19, b=1 となる。
(数学ⅡⅠ・数学B 第4問は次ページに続く。)
数学ⅠⅡⅠI・数学B
(1) 初めの状態から花子さんが操作Hのみを行うときを考える。このとき,a=5
であり、a2= ア
である。 また一般に
an= イ n+
(n=0, 1, 2, ...)
である。したがって, 1回目の操作を終えてから回目の操作を終えるまでにカ
ードAに書かれていた数 (初めの状態で書かれている数は含まない)の総和を
Sn とすると
Sn= I n² + オ n (n=1,2,3,…)
である。
(数学ⅡI・数学B 第4問は次ページに続く。)

数学ⅡⅠI・数学B
(2) 初めの状態から, 1回目は花子さんが操作Hを,2回目は太郎さんが操作Tを
行い,以降奇数回目は花子さんが操作Hを, 偶数回目は太郎さんが操作Tを行う
ことを繰り返す。 2n回の操作を行った後, カードAに書かれている数 azn につ
いて考えよう。
(i)a= カキ b2=
が成り立つ。
ス
(ii) kを0以上の整数とする。 2k+1回目の操作は操作Hを, 2k+2回目の操作
は操作Tを行うので
1500
9
a2k+2=
9
a2k
セ
azk+46zk
ク
ス
a4=ケコ, b=サシである。
9
b2k+2= t
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
① 62k
azk+662k
②
3 azk+262k
a+b2k
6 3a2k +4b2k ⑦5a2k +462k
(数学ⅡⅠ・数学B 第4問は次ページに続く。)

である。
a+2h
ス
a+4h
である.
0 azk
4a2+4b₂
セ
である.
azn =
in を1以上の整数とする。 Q2n をnの式で表そう. そのために, 数列{cm}, {dn}を
Cn=a2n+3bzm,
dn = a22bzn (n=1, 2, 3, ...)
解説
以下, nは0以上の整数とする. n+1回目に
操作H, 操作Tを行ったときのam, b, an+1,
bn+1 の関係について考える。
n+1回目の操作が操作Hであるとき
an+1=an+2bn
...... ①
bn+1=bn
であり,n+1回目の操作が操作Tであるとき
an+1=an+4b
bn+1=an
で定める.
数列{cm) は,q=ソタ,公比 チの等比数列である。 また, 数列 {dn} は,
d=ツ,公比 テトの等比数列である。
したがって
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。
①bzA
②an+bz
5 a2 +6b2k
⑥ 302月 +46zA
ナニ・チ-
(1) 初めの状態から花子さんが操作Hのみを行う
ときを考える. 初めの状態ではカードAには1が,
カードBには2が書かれているので, ①より
a₁=1+2·2=5, b1=2
az=a1+26ı=9, b=b1=2
bn=2
である. よって①より
......
②
花子さんが操作Hのみを行う間, カードBに書
かれている数は変化しないので, すべてのにつ
いて
2回目@atch
an+1=an+4, a₁=5
ネ
25+4=9
2
B2
(3)
azk+2bzk
75a24+4b₂M
1.(テト)"
(n=1, 2, 3, ...)
が成り立つ。
この式より, {an} は第1項が5, 公差が4の等
差数列になるので, その一般項は
an=4(n-1)+5=4n+1 (n=0, 1,2,..)
である。
at(n-1)d
さらに、1回目の操作を終えてから回目の
作を終えるまでにカードAに書かれていた数の
和は
下
20
(a+an)
・横
=1/23m(4n+6) a1=5
=2n²+3n
全国 anotatl
である.
TABOR SHASTRUL
(2)(i) 初めの状態から奇数回目は花子さんが操作
Hを,偶数回目は太郎さんが操作Tを行う.
1回目は操作Hを行うので, (1) と同じく
1=5, 61=2
である。
2回目は操作を行うので,②より
a=5+4・2=13,
b2=a=5
である。
3回目は操作Hを行うので、①より
as 13+2-5=23, b=b2=5
である。
4回目は操作を行うので、②より
b=as 23
a=23+4.5=43,
である.
k0以上の整数とする. 2k+1回目の操作
は操作H, 2k+2回目の操作は操作Tを行うの
で
azk+2=a2n+1+4bz+1 (②より)
= a2+6bz (⑤)
bzk+2=azk+1 (②より)
となる.
= (azn+2bzk)+4bzm (①より)
anta
=a2+2bzm (①より) (③)
(i) (ii)より, 自然数nについて
a2n+2=a2n+6b₂n 3
ban+2=a2n+2b₂n
が成り立つ。
数列{cm}, {dn} を
Cn=a2n+3bzm,
で定める。
③+④×3より
であるから
() Aok+(a+4)+Rik
a2n+2+3b2n+2=a2n+6b2n+3(azn+2b2n)
=4an+1262
= 4(a2n+3b2n)
である.
dn=a2n-2b2n
次に, ③-④ ×2 より
であるから
よって, 数列{d} は第1項が3, 公比が1の
等比数列であるので
dm=-3(-1)"
である。
dn+1=-dn
である.また,d=a22b2=3である。
以上の結果より
Cn+1=4Cn
である. また, G=a2+3b2=28である.
よって, 数列{cm} は第1項が28, 公比が4の
等比数列であるので
Cn=7.4"
a2n+2 2−2b₂n+2=a2n+6b2n-2(a2n+2b₂n)
=-a2n+2bzn
= -(azn-2b2n)
が成り立つ。
azn +3b2n=7.4"
azn-26zn=-3(-1)" ......⑥
⑤×2+⑥×3 より
5azn 14.4"-9.(-1)"
14-4-9-(-1)"
5
azn =
である.
別解
(1) Sm を求めるにあたっては, 次のように総和
の公式を用いることもできる.
4+ag
S=
= 2(4k+1)
=4･
= 4• ½{_n(n+1)+n\
=2n²+3n
基礎事項の確認
1° 等差数列の一般項〉
初項a,公差dの等差数列の第n項 an は
an=a+(n-1)d
である.
2° 〈等差数列の和>
初項a,公差d, 末項 1, 項数nの等
和Sは
53
+4
である.
Sn=2(a+1)=2 {2a
(a+1)=1/{2a+(n-1)d}
である.
3° 〈等比数列の一般項〉
初項a,公比rの等比数列の第n項
an=ar"-1