Question

かいと

解析力学です。わかる方おられませんかね

4. zy 平面において, 2点(-a/2,0), (a/2,0) (a>0) を結ぶ一様な線密度を持つ伸び縮みしない細い
ひもを考える. ひもには鉛直方向 (y 軸方向) 下向きに重力がかかっている (重力加速度g) ひ
もの長さをf(a) とするとき, ひもの描く曲線 y=g(x) を変分法を用いて論じ、次の形の微分方
程式が満たされることを示せ;
2
dy
dr.
=A'{y(z) +B}^-1, (A,B: 定数)
=
※もし余力があれば、 微分方程式を解いて、 具体的に曲線を決定してみてください. いわゆる 「懸
垂曲線」 (カテナリー曲線) が答えになります。
[ヒント] レジュメ セクション2の (2.3) 式と (2.4) 式を参照。 [曲線の長さ] = f を拘束条件として､
ひものポテンシャル・エネルギー Uly(x) の変分問題を考える。 ラグランジュの未定乗数法を用い
るとよい。 また、形式的に 「時間｣ のようにみなしてエネルギー保存則を利用すると計算が
楽かもしれない.

[汎関数の例
(i) ry-平面上の曲線 y=g(x) (エモ [20.1]) の長さ
L[(y(x)] = [*"*
= [²√ √ ² + ( 12 ) ²
dr.
は、曲線y (x) の汎関数である。
は、曲線y (x) の汎関数である。
(ii) 一様な線密度p を持つ細いひもが, ry-平面上に曲線y=y(エ) (エモ [20,エ を描いているとする.
])
鉛直方向 (y 方向) 下向きに重力加速度gの重力が働いているとすると, このひもの全ポテンシャ
ルエネルギー:
2
dy
U[y(x)] = pg [**
3 [²* y(2) √/1 + dr.
dr
(2.3)
一般にある汎関数 F[g(x)] が極値を取るような曲線y(x) を探すには , 変分方程式
$F[y(x)] = 0
を満たす曲線y(x) を求めればよい. 数学ではこのような問題を「変分問題」と呼ぶ.
(2.4)