はい、あります。
hateは他動詞なので、目的語が必要です。
目的語は名詞しかなることができないので、
動詞っぽい表現を目的語にしたいときは
「〜する」を「〜すること」という意味になるように変えてあげる必要があります。
そこでこの文では
have to rush in the morning
「朝に急がなければならない」
を
having to rush in the morning
「朝に急がなければならない【こと】」
というふうに変えてあげているんです。
文法的にはこの〜ingは動名詞というやつになります。
追記します。ここから先は理解を深めたければ読んでください。
「〜すること」という言い方は
動名詞〜ing以外に、to不定詞でもいうことができます。to+動詞の原形ですね。
I hate to have to rush in the morning
形の上では、これも間違っていないことになります。
しかし動名詞とto不定詞は、日本語に表れにくい意味の違いがあります。
動名詞の場合は、もうすでに経験したことについて一般的に好き嫌いを言っています。
不手足の場合は、これからすることについて、したいかしたくないか、というニュアンスになります。hateだから「したくない」ってことですね。
なので今回の文では例えば「（明日の）朝急ぎたくない」ってことが言いたいのであれば
have toは抜いてしまってhate to rush だけで十分なわけです。have to hate to rush というのはちょっと表現としてしつこい感じがして変な文だと思います。
一方で、一般的な好き嫌いとして
「朝急がなければならないことが、嫌いだ」
ということは普通にあると思うので
hate having to rush in the morning
という表現は適切だと思います。