Question

受験やる男

下の画像はとある数学IIBの模擬試験のものです。
空欄サシス　の箇所についての質問です。
3枚目の画像の⑵、黒丸で囲ってある　「k≠1/2 のとき〜」のところが理解できません。どうして場合分けしてあるのでしょうか？

(注)この科目には,選択問題があります。(19 ページ参照。)
数学Ⅱ・数学B
第1問 (必答問題) (配点30)(x-232(-4)
円Cの中心Aの座標はア
lik(x-2y+7)+2x+y-16:0
〔1〕 座標平面上に円C:x²+y²-4x-8-50と
直線l: (k+2)x- (2k-1)y+7k-16=0 がある。ただし, kは定数とする。
4
であり、半径はウ
⇒/x-2y+7=0.2(2g-7)y-16:0
x+6-16:0
2x-16=0
5g-30
x = 5 (1) 直線ℓはんの値によらず点B エ
の個数は
ク
(L-23-4+(y-4)-16-5=0
の解答群
O HE
ケ
カキ 13
である。 また、点Bは円Cの クに存在することにより, Cとlの共有点
○
・ABIPQのとき Pa=2BP=2 AP2-AB2
Hel
の解答群
○
25
6才
こうでないPQ=2PH
① 内部
半径5
を通り, AB=
・2/AP2-AH2
2/25-AH²
22√12
A
② 外部
12
⑩kの値によらず2個である
①kの値によって1個の場合と2個の場合がある
②kの値によって0個の場合と1個の場合と2個の場合がある
である。
√(2-5)² + (4-6)
(数学ⅡⅠ・数学B 第1問は次ページに続く。)

数学ⅡI・数学B
(2) Clが異なる 2点PQで交わっているとする。 kの値が変化するとき,線
サシ
分PQの長さが最小となるのは コ のときであり,このときん
である。
コ については,最も適当なものを、次の⑩~⑤のうちから一つ選べ。
ZAPQ=2
(2) PQ = AB
④PQ // AB
π
522
① <PAQ=
(3)
PQ=2AB
⑤ PQ ⊥AB
太郎さんと花子さんは,線分PQの長さが最小となるときの cos ∠PAQ の値
について話している。
太郎 : 三角形 APQに余弦定理を用いると求められそうだね。
花子: それもいいけど,まずcos ∠PAB の値を求めてから,∠PABの大きさ
とPAQ の大きさの関係に着目しても求められそうだよ。
太郎 : どちらの方法でも, cos ∠PAQ の値が求まるね。
OVEYOUR
いずれかの方法で求めると, cos ∠PAQ=
t
ス
ソタ
である。
0
(数学ⅡⅠI・数学B 第1問は次ページに続く。)

数学Ⅱ・数学B
解法
(1)
(1)
第1問 図形と方程式,指数・対数関数
C: x2+y2-4x-8y-50
l: (+2)x_(2k-1)y+7k-16 = 0
①から (x-2)+(y-4) = 25
よって、円Cの中心Aの座標は (24) であり, 半径は5である。
②から (x-2y+7)k+2x+y-16 = 0
これがんの値によらず成り立つ条件は
[x-2y+7=0
|2x+y-16=0
よって x = 5, y = 6
したがって、直線ℓ はkの値によらず点B (5,6) を通り
k+2
2k-1
AB=√(5−2)²+(6-4)²=√32+22 = √13
また、円の半径をrとすると
PCの内部 (①) に存在する。よって, C とlの共有点の個数はんの値に
よらず2個である (⑩)。
(2)
PQL ABのとき、点Bは線分PQの中点であ
るから
PQ=2PB=2√AP2-AB2=2√25-AB2
である。一方, PQ と AB が垂直でないとき, 点
A から PQに引いた垂線との交点をHとする
と, HはBと異なる点で, 線分PQの中点であり
PQ=2PH=2√AP²-AH²=2√25-AH
ここで, AH < AB であるから
探究 複数
AB<rであるから,点B
5であり,
であるから,垂直条件より
2 k+2
32k-1
=-1
A
Q
C
2√25-AH > 2√25-AB2
よって, Cとl が異なる2点PQで交わって
いるとき, 線分PQの長さが最小となるのはPQ ⊥AB (⑤) のときである。
ここで,直線ABの傾きは 8=1/2=1/31k = 1/12
6-4 k1/2のとき直線PQの傾きは
5-2 3'
P
l の方程式をkについて整理して
kの恒等式と考える。
2(k+2)=-3(2k-1)
よってk=1/12 (これはk/1/2を満たす 。 )
また, k= のとき PQ の方程式はx=5であるから, PQ と AB は垂直に
はならない。
したがって、求めるkの値はk 8
解法の糸口
点BとCの位置関係は,
点Bと中心の距離と円Cの
半径の大小で判断する。
本解では場合分けをしての値を
求めたが、次のようにしてもよい。
2直線PQ, AB の方程式はそれぞ
れ
(k+2)x-(2k-1)y+7k-16-0
2x-3y+8=0
であるから垂直条件より
2.(k+2)+(-3)・{(2k-1)}=
=-1
よってk=

図形と方程式