Question

、

φ-θの取りうる値の範囲はどのように決めるのでしょうか？

441
2つの円C: (x-1)2+y2=1 と D : (x+2)2+y2 = 72 を考える。 また原点を
O(0,0)とする。 このとき、次の問に答えよ。
2016年度 〔2〕
Level A
(1) 円 C上に,y座標が正であるような点Pをとり,x軸の正の部分と線分 OP の
なす角を0とする。このとき,点Pの座標と線分 OP の長さを 0 を用いて表せ。
(2)(1)でとった点 P を固定したまま,点Qが円D上を動くとき、△OPQ の面積が
最大になるときのQの座標を0を用いて表せ。
(3) 点Pが円C上を動き, 点Qが円D上を動くとき, △OPQ の面積の最大値を求
めよ。
ただし(2),(3)においては,3点O,P,Qが同一直線上にあるときは,△OPQの
面積は0であるとする。
解法 1
イント JC上にある点P, 円 D上にある点Qを考えるのであるから, そのパラメ
ータ表示には, 三角関数を用いるのが自然である。これに, 三角形の面積の公式
OE = (x1,y1), OF = (x2, y2) とするとき
△OEF= ===—=—=12²₁3
-|X1Y2—X2Y1|
を用いて面積を表すことができれば、あとは微分法によればよい。
本題では,2点P, Q が動くとき, 「まず1点Pを固定する」という基本的な考え方
が誘導されている。
〔解法1] では,厳密に論証を重ねながら計算を進めるが,直観的には (1), (2)の結果は
ほぼ明らかである。 点Pは第1象限に限られているので, 三角比の問題として処理で
きるからである。 〔解法2〕では,この方針で(1), (2) を解答する。
π
(1) 円Cの中心をAとおくと, A (1, 0) である。 また,0は0<8<-
の範囲にあ

り AP とx軸の正の向きとのなす角は20である。
このとき
また
OP-OẢ+AP
よって, 点Pの座標は
であり
= (1, 0)+(cos20, sin20)
=(1+cos20, sin20 )
=(2cos20, 2sindcost)
P(2cos20, 2sinocose)
OP=2cose(cose, sine)①
|OP|=2cose√cos²0+ sin20=2cose
より,線分 OP の長さは
OP=2cose
(
OQ=OB+BQ=(-2,0)+7(cosy, sing)
(& Pem
= (7cosp-2, 7sing)
(0)
D
=cos0|7sin(-0)+2sin0|
(2) 円Dの中心をBとおくと, B(-2,0)である。 また,BQ とx軸の正の向きと
のなす角を (0≦x<2π) とおくと
P
① ② から、△OPQの面積をSとして
1
･･2cose coso.7sing-sine ( 7cosp-2)|
=cos017 (sinpcosa-cospsine) +2sine|
YA
95 微積分法 171
0 4/26
20
20
P
微・積分法

1
-9 のとりうる値の範囲は<p-8 <2πであるから、-9
π
$=0+ でSは最大となる。
このとき②から
OQ= (7cos(0+4)-2.7sin (0+/))
=(-7sin0-2, 7cos0)
よって, Sが最大となるときの点Qの座標は
Q(-7sin0-2, 7cos0)
(
(3) ③から,点Pを固定したときの △OPQ の最大値を So とすると
So=cose7sinz+2sine|=cos0 (2sin0+7)
点Pが円C上を動くとき, So を0の関数とみてf (0) とおく。
f(0) = cos(2sin0+7) (0<0 < 1/7²)
f'(0)=-sin0 (2sin0+7)+cos0 ・2cose
=-2sin²0-7sin0+2(1-sin²0)
=-(4sin'0+7sin0-2)
=-(4sin0-1)(sin0+2)
π
ここで, sino=1/12 (0<</17) を満たす0はただ1つ存在するので,これをqと
おく｡
右の増減表から, 0=α のときf(0) は最大とな
り
sina=-1
x = ²/1 (0 < a < 1/²) +²5
√15
4
よって, 求める最大値は
cosa=
f(a)=√15 (2-1+7)= 15/15
8
(答)
0 (0)
:
ƒ'(0)
ƒ(0) (7) ▼
+
a
すなわち
0
T
(0)