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①はf(a)≧f(x)と書けます。
これがどんなxに対しても成り立つ、つまり、
「xがどんな値であってもf(x)はf(a)以下である」
というのは、もはやほとんどf(a)がf(x)の最大値であるということの言い換えに過ぎないというのは感覚的に納得していただけるでしょうか?
もし納得できなければ、こう考えてみましょう。
仮にaがeでなかったとすると、f(a)<f(e)ですから(なぜならf(e)がf(x)の最大値なので)、x=eのとき、①は成り立ちません。逆に、a=eなら、どんなxを持ってきてもf(x)はf(a)より大きくはならず(なぜなら、やはりf(e)がf(x)の最大値なので)、①はどんなxに対しても成り立ちます。
よって、a=eということになります。

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