✨ ベストアンサー ✨
中学生にしては結構難しい問題が作れました。
ただ問題を解く上で高校生になっても役立つテクニックが色々あるので、チャレンジする価値はあると思います。
解説とかあったりしますか！
√(5+n)=a, √(5+4n)=b (a,bは自然数)とおきます。
√を外すために全部2乗すると、
5+n=a² …①
5+4n=b² …②
となります。
この状態だと文字が3つもあって面倒なので、1つ消します。
①式を4倍したものから②式を引くことで、nが消えて
15=4a²-b²
因数分解して、
15=(2a+b)(2a-b)
ここで、2a+bと2a-bは整数で、特に15と2a+bは自然数であるため2a-bも自然数になります。
また、15を2つの自然数の積で表す方法は、
15=15×1,5×3,3×5,1×15 の4通りです。
2a+b>2a-bであることに注意すると
2a+b=15, 2a-b=1 のパターンか、
2a+b=5, 2a-b=3 のパターンのどっちかになります。
2a+b=15, 2a-b=1 のとき、a=4, b=7でn=11となります。
2a+b=5, 2a-b=3のとき、a=2, b=1, n=-1 となりますがnは自然数なので、答えはn=11のみです。
最初に文字で置くところや、途中の因数分解して整数の積に直して条件を絞るところなど、高校でも役立つテクニックがいろいろ含まれてます。
まぁ多分自分が中学生のころはこんなの解けなかったですけどね…()
丁寧にありがとうございます！
①②の式は作れたのですが、そのあとどうすればいいかわからず、、
同じ係数にして引き算をし、文字を消すのですね！
勉強になりました。ありがとうございました！
ありがとうございます！やってみます！