✨ ベストアンサー ✨
(2)F7の元{1,2,3,4,5,6}についてF7の生成元になるものを探す(ひとつひとつ試してみる)と、
3が生成元になることがわかる;
3^0=1
3^1=3
3^2=9=2
3^3=2*3=6
3^4=6*3=18=4
3^5=4*3=12=5
3^6=5*3=15=1
より、<3>=F7となる。
(5も生成元である。同様に確認できる)
(4)Gは位数が500=2^2・5^3の巡回群だから
位数が500の元aを用いて
G={e,a,a^2,a^3,...,a^499}
と書ける。
Gの元の位数は500の約数であるので、このうち2と互いに素なものは位数が5^3の正の約数になっているものである。よってそのような元gは
g^(5^3)=e
を満たすものである。
g=a^kとすると
a^(5^3 k)=e
5^3 k = 500 m (mは整数)
k=4m
ゆえに、a^0,a^4,a^8,...,a^(4*124)の125個である。
(5)NはGの指数kの正規部分群であるから
G/Nは位数kの群となる。
Gの元gについてそのG/Nでの元[g]を考える。
[g]が生成する巡回群<[g]>はG/Nの部分群になるので、その位数dはkの約数である。
[g]^d=[e]
[g^d]=[e]=N
g^d∊N
kはdの倍数だから
g^k∊N
(6)同値関係~で
反射律から
e~e
e∊S
対称律から
e~a⇒a~e
a∊S⇒a^(-1)∊S
推移律から
a^(-1)~eかつe~b⇒a^(-1)~b
a∊Sかつb∊S⇒ab∊S
これでSが部分群をなすことが示せた。
