数学
高校生

(2)ので答えがこの答えになる途中式を教えてくださいお願いします。

基礎問 196 128 3項間の漸化式 a=2, az=4, an+2=-an+1+2an (n≧1) で表される数列{an² がある. (1) an+2-Qan+1= β(an+1- aan) をみたす 2 数α, βを求めよ. (2) an を求めよ. 精講 an+2=pan+1+qan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 t=pt+g の解をα, βとして,次の2つの場合があり ます. (I) αキβ のとき an+2=(a+β)an+1 - aban より an+2aan+1=β(an+1-dan) lan+2 - Ban+1=α(an+1-Ban) ①より、数列{an+1 - aan} は,初項 α2-Qa1, 公比βの等比数列を表すので、 ...1' an+1-aan=β”-1 (az-dai) 同様に,②より, an+1- -Ban=an-1 (a2-βa) .......②' ①②' より, (B-α)an=β"-1 (a2-aaî)-α"-' (a2- Bar) β”-1 (a2-aal)-an-1 (az-Bas) B-a :: An= 注実際には α=1 (またはβ=1) の場合の出題が多く,その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき an+2-QQn+1=α(an+1-aan) an+1-dan=an−1 (azaas) ③ つまり,数列{an+1- can}は,初項a2-aa,公比αの等比数列. ③ の両辺を α7+1 でわって, an+1 Q²+1 n≧2のとき、a+ ak k+1 k=1\a よって, an an -=(n-1).az-aa1 a² ∴a=(n-1)α"-2a- (n-2) α7-11 a1 an an an a azaar a² a2day a²
(1) an+2=(a+B)an+1-aßan 与えられた漸化式と係数を比較して, a+B=-1, aß= -2 . (a, B)=(1, −2), (-2, 1) (2) (a, β)=(1, -2) として an+2 an+1=2(an+1-an) an+1-an=bn とおくと. bn+1=-2bn また,b=a2-a=2 ∴. bn=2(-2)^-1 n≧2のとき, An=A₁+ Σ2(−2)k−1 1-(-2)^-1 =2+2・ 1-(-2) n-1 解答 k=1 したがって, an - -(4-(-2)-¹) {4- これは,n=1のときも含む. (別解) (α,β)=(-2, 1) として an+2+2an+1=an+1+2an 8 3 = an+1+2an=a₂+2a₁₂7, an+₁=-2an+8 8 8 8 2 .. an+1 a... 3 = -2(a₁-3). a.–3--3- An 122 197 123 2 =-²/² (-2) ²-¹. a. -(4-(-2)-¹) an 3

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