Question

ka

(2)ので答えがこの答えになる途中式を教えてくださいお願いします。

基礎問
196
128 3項間の漸化式
a=2, az=4, an+2=-an+1+2an (n≧1) で表される数列{an²
がある.
(1) an+2-Qan+1= β(an+1- aan) をみたす 2 数α, βを求めよ.
(2) an を求めよ.
精講
an+2=pan+1+qan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 t=pt+g の解をα, βとして,次の2つの場合があり
ます.
(I) αキβ のとき
an+2=(a+β)an+1 - aban より
an+2aan+1=β(an+1-dan)
lan+2 - Ban+1=α(an+1-Ban)
①より、数列{an+1 - aan} は,初項 α2-Qa1, 公比βの等比数列を表すので、
...1'
an+1-aan=β”-1 (az-dai)
同様に,②より, an+1- -Ban=an-1 (a2-βa) .......②'
①②' より,
(B-α)an=β"-1 (a2-aaî)-α"-' (a2- Bar)
β”-1 (a2-aal)-an-1 (az-Bas)
B-a
:: An=
注実際には α=1 (またはβ=1) の場合の出題が多く,その場合は階差数
列の性質を利用します. (本間がそうです)
(II) α=β のとき
an+2-QQn+1=α(an+1-aan)
an+1-dan=an−1 (azaas) ③
つまり,数列{an+1- can}は,初項a2-aa,公比αの等比数列.
③ の両辺を α7+1 でわって, an+1
Q²+1
n≧2のとき、a+ ak
k+1
k=1\a
よって,
an
an
-=(n-1).az-aa1
a²
∴a=(n-1)α"-2a- (n-2) α7-11
a1
an
an
an
a
azaar
a²
a2day
a²

(1) an+2=(a+B)an+1-aßan
与えられた漸化式と係数を比較して,
a+B=-1, aß= -2
. (a, B)=(1, −2), (-2, 1)
(2) (a, β)=(1, -2) として
an+2 an+1=2(an+1-an)
an+1-an=bn とおくと.
bn+1=-2bn
また,b=a2-a=2 ∴. bn=2(-2)^-1
n≧2のとき,
An=A₁+ Σ2(−2)k−1
1-(-2)^-1
=2+2・
1-(-2)
n-1
解答
k=1
したがって, an -
-(4-(-2)-¹)
{4-
これは,n=1のときも含む.
(別解) (α,β)=(-2, 1) として
an+2+2an+1=an+1+2an
8
3
=
an+1+2an=a₂+2a₁₂7, an+₁=-2an+8
8
8
8
2
.. an+1
a... 3 = -2(a₁-3). a.–3--3-
An
122
197
123
2
=-²/² (-2) ²-¹. a. -(4-(-2)-¹)
an
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

通りすがり@300BA獲得

こんな感じです。