Question

めがね

ケからお願いします

月
46
AさんとBさんの2人が数列の問題について話をしている｡ 次の会話文を読んで下の各問い
に答えよ｡
Aさん:この前の授業で、次のような数列の問題を解くことになったんだ。
次のような数列がある。
8
ただし、分母が”である分数は (2n-1) 個ある。
分母が8である項の最初から3番目の数を求めよ。 次に、この数列の第167項
を求めよ。 さらに、 初項から第167項までの和を求めよ。
この問題を解くのに、 数列の規則から、分母が8である項の最初から3番目まで書き上げ
て答えたんだけど 第167項までは,時間が足りなくて書ききれなかったよ。 もちろん和
も求めることができなかったんだ。
Bさん この問題の場合なら、 分母が同じ項をまとめて1つの群として考えればいいんじゃない。
つまり, 第群には分母が"である数が (2n-1) 個あり,
2n-1 2n-2... 1と並んでいるんだ。
n
n
だから、書き上げなくても、 分母が8である項は第8群にあって. 第8群の最初の数の分
子は2×8−1 = 15 だから とわかるよ。
8
分子の数は1ずつ減っていくので、分母が8である項の最初から3番目の数は長となるよ。
で,第20群
Aさん:なるほど, じゃあ、 第20群の25番目の数を考えると. 分母の数は
には
でも,こうも考えられるよね。 第20群の最後の数は第20群の
番目の数で、前か
ら25番目の数は、 最後の数を1番, その手前の数を2番と数えると最後からエ 番
だから, その数の分子の数は エ といえるね。
でも,この数列の第167項を求めるのはどうするの。
Bさん 第167項が, 第何群の数かを考えればいいんだよ。
25番目の分子の数は等差数列の考えを用いてウだね。
個の数があり、
Aさん: そうか,第ヵ群の最後の数はキだから, 第167項は
わかったけど,和はどうやって求めればいいのかな。
第k群には, (2k-1) 個の数があるんだから, 第1群から第n群の最後の数までは
1+3+5+ ...... + (2n-1)=オ(個)
項だよ。 だか
の数があるよ。 つまり, 第群の最後の数は, 与えられた数列の第
ら,第167項が第n群の数だとすると,167 オ を満たす最小の自然数nを求めれ
ば、第167項が第何群の数かわかるよ。
167 を満たす最小の自然数nはカだから, 第167項は第[
カ群の数だね。
だね。 第167項は
月日
Bさん これも群でまとめて考えればいいんじゃないかな。 つまりの数の和を. 最後の
数から書くと
1/2 + 2²/12 + ..
..... +2k-1
だよね。
Aさん:群ごとの和を使うのか。
わかったよ。この場合なら、第群の最後の数までの和はだから、初項から
第16項までの和は,
だね。
この会話から数日後、AさんがBさんに話をしています。
AさんB さん, 群を用いて考える同じような問題を考えたよ。
数列
1. 1. 3, 5, 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. 1. ******
がある。
(i) 8回目に現れるは第何項か。
(Ⅱ) 初項から8回目に現れるまでの項の和を求めよ。
(この数列の第2020項を求めよ。
この問題も同じように解けるね。
に適する数を求めよ。
には,nを用いた式を求めよ。
~
に適する数を求めよ。
を用いた式を求めよ。
サに適する数を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 下線部の問題 (i) を解け。
(7) 下線部の問題 (i) を解け。
(8) 下線部の問題 (1)を解け。
ケには、
Pur 20 /1079 17-15
Ju à
2:20-25
20
13 1/1/1
2.20-1-39
→25.
228
(5
D
29
— (1924-1)=(2²)
6²3/17
6-17 15-169
2.13-1.

(4)
46
(1)
(3)
20
15
第20群の項数は 2×20-1-39 だから
39. 公差 1の等差数列の第25だから
39+(25-1)-(-1)-15
よって、分子の数は 15
39
最後の数は、39番目。
これを1番とするのだから最後の手前の数は、38
番目で2番となる。
よって、 25番目の数は最後から15番となる。
最後の数の分子は1で、手前になるにしたがって
1ずつ増えるので、分子の数と一致する。
よって、分子の数は15
(2)
²
1+3+6++ (2m-1)=1/(1+(2x-1))
12のとき
13のとき
13 13 13
167 ² を満たす最小の自然数nを求める。
144
169
ウ 15
2k-1
ただし、分母が”である
分
の値は の値が大きくなるにつれ大きくな
るので､求めるは
2k-1
13
第167項は、第13群の最後から3番目の数だか
3
ら
-1/(1+2+....+(24-1))
-4.2k¹(1+(2k-1))-2k-1
(5)
2'3'3'
*
4
F 169
co/co
co/00
10/1
2194
13
(2k-1)=2-1=n(n+1)¬n=n²
よって、第13の最後の数までの和は13169
第13群の最後の数は 13'169 だから第 169
項である。
第 167項は、最後の数から3番目の数だから、 初
項から第167 頃までの和は
39 - (13+1)-2194
3'
(6X7X8)
第群には第2回目に現れる1から、 次の1の
手前の数までが入るような群を考える。
つまり,
は, 1から順に (21) 個の奇数
がある。
ゆえに, 第50項
(7) 第郡の数の和は
74
11,3,5|1,3,5,7,91.3.5.7.9.11.13|
(6) 8回目に現れる1は、 第8群の最初の数である。
第7群には, 2×7-113(個) の数があるので
1+3+ +13+1=(1+13)+1 = 50
1+3+......+(22k-1)-1)
_2k¹(1+(4k-3))-(2k-1)¹
よって,初項から8回目に現れる1までの和は
(2k-1)+1-42-44+1+1
-4.
7-8-15-4.78 +
-
-
-7.8 (60-12)+8
78.48+8
-7-8-8-8-456
+7+1
(8)第2020が第の数とすると、第
後の数までの項数は
1+3++(2n-1)=(1+(2-1)-²
2020 x² を満たす最小の自然を求める。
44 のとき
1936
45のとき
2025
の値は、の値が大きくなるにつれて大き
45
くなるので、求めるは
よって、 第2020 項は、第45群の数である。
第45群の最後の数は、第2025項で
2×(2×45-1)-1177
よって、2020は、 最後の数から6番目の数
である。
したがって、 等差数列の考え方を用いて
177+(6−1)(−2)=167
以上より 求める数は 167
別) (9行目から続く)
第45群の最初の数は、 44 +11937 だから、
第1937項で1である。
よって、 第2020は、第45群の最初から84
目の数である。
以上より 求める数は 2×84-1167