数学
高校生

ケからお願いします

月 46 AさんとBさんの2人が数列の問題について話をしている。 次の会話文を読んで下の各問い に答えよ。 Aさん:この前の授業で、次のような数列の問題を解くことになったんだ。 次のような数列がある。 8 ただし、分母が”である分数は (2n-1) 個ある。 分母が8である項の最初から3番目の数を求めよ。 次に、この数列の第167項 を求めよ。 さらに、 初項から第167項までの和を求めよ。 この問題を解くのに、 数列の規則から、分母が8である項の最初から3番目まで書き上げ て答えたんだけど 第167項までは,時間が足りなくて書ききれなかったよ。 もちろん和 も求めることができなかったんだ。 Bさん この問題の場合なら、 分母が同じ項をまとめて1つの群として考えればいいんじゃない。 つまり, 第群には分母が"である数が (2n-1) 個あり, 2n-1 2n-2... 1と並んでいるんだ。 n n だから、書き上げなくても、 分母が8である項は第8群にあって. 第8群の最初の数の分 子は2×8−1 = 15 だから とわかるよ。 8 分子の数は1ずつ減っていくので、分母が8である項の最初から3番目の数は長となるよ。 で,第20群 Aさん:なるほど, じゃあ、 第20群の25番目の数を考えると. 分母の数は には でも,こうも考えられるよね。 第20群の最後の数は第20群の 番目の数で、前か ら25番目の数は、 最後の数を1番, その手前の数を2番と数えると最後からエ 番 だから, その数の分子の数は エ といえるね。 でも,この数列の第167項を求めるのはどうするの。 Bさん 第167項が, 第何群の数かを考えればいいんだよ。 25番目の分子の数は等差数列の考えを用いてウだね。 個の数があり、 Aさん: そうか,第ヵ群の最後の数はキだから, 第167項は わかったけど,和はどうやって求めればいいのかな。 第k群には, (2k-1) 個の数があるんだから, 第1群から第n群の最後の数までは 1+3+5+ ...... + (2n-1)=オ(個) 項だよ。 だか の数があるよ。 つまり, 第群の最後の数は, 与えられた数列の第 ら,第167項が第n群の数だとすると,167 オ を満たす最小の自然数nを求めれ ば、第167項が第何群の数かわかるよ。 167 を満たす最小の自然数nはカだから, 第167項は第[ カ群の数だね。 だね。 第167項は 月日 Bさん これも群でまとめて考えればいいんじゃないかな。 つまりの数の和を. 最後の 数から書くと 1/2 + 2²/12 + .. ..... +2k-1 だよね。 Aさん:群ごとの和を使うのか。 わかったよ。この場合なら、第群の最後の数までの和はだから、初項から 第16項までの和は, だね。 この会話から数日後、AさんがBさんに話をしています。 AさんB さん, 群を用いて考える同じような問題を考えたよ。 数列 1. 1. 3, 5, 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. 1. ****** がある。 (i) 8回目に現れるは第何項か。 (Ⅱ) 初項から8回目に現れるまでの項の和を求めよ。 (この数列の第2020項を求めよ。 この問題も同じように解けるね。 に適する数を求めよ。 には,nを用いた式を求めよ。 ~ に適する数を求めよ。 を用いた式を求めよ。 サに適する数を求めよ。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 下線部の問題 (i) を解け。 (7) 下線部の問題 (i) を解け。 (8) 下線部の問題 (1)を解け。 ケには、 Pur 20 /1079 17-15 Ju à 2:20-25 20 13 1/1/1 2.20-1-39 →25. 228 (5 D 29 — (1924-1)=(2²) 6²3/17 6-17 15-169 2.13-1.
(4) 46 (1) (3) 20 15 第20群の項数は 2×20-1-39 だから 39. 公差 1の等差数列の第25だから 39+(25-1)-(-1)-15 よって、分子の数は 15 39 最後の数は、39番目。 これを1番とするのだから最後の手前の数は、38 番目で2番となる。 よって、 25番目の数は最後から15番となる。 最後の数の分子は1で、手前になるにしたがって 1ずつ増えるので、分子の数と一致する。 よって、分子の数は15 (2) ² 1+3+6++ (2m-1)=1/(1+(2x-1)) 12のとき 13のとき 13 13 13 167 ² を満たす最小の自然数nを求める。 144 169 ウ 15 2k-1 ただし、分母が”である 分 の値は の値が大きくなるにつれ大きくな るので、求めるは 2k-1 13 第167項は、第13群の最後から3番目の数だか 3 ら -1/(1+2+....+(24-1)) -4.2k¹(1+(2k-1))-2k-1 (5) 2'3'3' * 4 F 169 co/co co/00 10/1 2194 13 (2k-1)=2-1=n(n+1)¬n=n² よって、第13の最後の数までの和は13169 第13群の最後の数は 13'169 だから第 169 項である。 第 167項は、最後の数から3番目の数だから、 初 項から第167 頃までの和は 39 - (13+1)-2194 3' (6X7X8) 第群には第2回目に現れる1から、 次の1の 手前の数までが入るような群を考える。 つまり, は, 1から順に (21) 個の奇数 がある。 ゆえに, 第50項 (7) 第郡の数の和は 74 11,3,5|1,3,5,7,91.3.5.7.9.11.13| (6) 8回目に現れる1は、 第8群の最初の数である。 第7群には, 2×7-113(個) の数があるので 1+3+ +13+1=(1+13)+1 = 50 1+3+......+(22k-1)-1) _2k¹(1+(4k-3))-(2k-1)¹ よって,初項から8回目に現れる1までの和は (2k-1)+1-42-44+1+1 -4. 7-8-15-4.78 + - - -7.8 (60-12)+8 78.48+8 -7-8-8-8-456 +7+1 (8)第2020が第の数とすると、第 後の数までの項数は 1+3++(2n-1)=(1+(2-1)-² 2020 x² を満たす最小の自然を求める。 44 のとき 1936 45のとき 2025 の値は、の値が大きくなるにつれて大き 45 くなるので、求めるは よって、 第2020 項は、第45群の数である。 第45群の最後の数は、第2025項で 2×(2×45-1)-1177 よって、2020は、 最後の数から6番目の数 である。 したがって、 等差数列の考え方を用いて 177+(6−1)(−2)=167 以上より 求める数は 167 別) (9行目から続く) 第45群の最初の数は、 44 +11937 だから、 第1937項で1である。 よって、 第2020は、第45群の最初から84 目の数である。 以上より 求める数は 2×84-1167
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