この問題は、
「接点1つに対して接線1本がある」
と仮定して、接点を設定し、その接点が何個存在するかを数えることによって接線の本数を数えるという求め方をしています。
しかし下の図のように、上の仮定が成り立たないことがあります。その例外を求めようとしている途中で赤線の式が使われています。
さて赤線の式の意味ですが、左辺は与式の四次方程式と設定した接線の方程式の差を取っています(連立しているイメージ)。
そして右辺は、下の図の二重解となっている部分を小さい方からα,βとおいて、x＝αとx＝βでそれぞれ二重解をとるという式をたてています。
これが赤線部分の意味です。
これを解と係数との関係で解いてα＝-1,β＝1と出てきます。
実はこの画像のグラフはこの問題と同じ関数を用いているのですが、計算と同じように、二重解を持つ部分がx＝α＝-1とx＝β＝1とわかりますね。
こんな感じです。わからない部分があったら教えてください。
まだ赤線の部分でなぜ差を取るのかや、2重解になるにしてもなぜそれらをかけるのかわからないのでもっと詳しく教えてもらえると嬉しいです！
まずかけあわせる方の説明ですが、
二次方程式x²－5x＋6＝0
の2つの解を求めるとき、
x²－5x＋6＝(x－2)(x－3)＝0
として、2解x＝2とx＝3を得ます。
二次方程式では2解をα,βとしたとき、
(x－α) (x－β) ＝ 0
となるわけです。
同様に三次方程式では、
(x－α) (x－β) (x－γ) ＝ 0
となりますし、四次方程式では、
(x－α) (x－β) (x－γ) (x－δ) ＝ 0
となるわけです。
今回二重解α,βを持つことから、γ＝α,δ＝βとなり、
(x－α)² (x－β)² ＝ 0
となるわけです。
次に差をとる理由ですが、
y ＝ x⁴ － 2x² ⋯①
y ＝ mx ＋ n ⋯②
を連立（① － ②）すると、
0 ＝ x⁴ －2x － (mx ＋ n) ⋯③
となります。
また y ＝ x⁴ － 2x² と y ＝ mx ＋ n が x ＝ α,βで二重解を持つから、
(x－α)² (x－β)² ＝ 0 ⋯④
となります。
③④より、赤線の式が出てきます。
何かあれば遠慮なく聞いてください🙆🏻
左辺は理解できたのですが、右辺がまだよく分かりません。x軸との交点が解なのに、なぜ接点のx座標が重解となるのか教えてください！度々すいません、、
今回の内容をふまえて2つほど補足させていただきます。内容は質問内容から外れるので見なくても大丈夫です。
【補足1】
ある関数 f(x) を因数分解するとき、
f(x) ＝ 0
としたときの解がわかれば因数分解することができます。
これは、y ＝ f(x) と y ＝ 0 を連立（差をとる）して、
0 ＝ f(x) － 0
また、f(x) ＝ 0 としたときの解がα,β,⋯とわかっているから、
(x－α) (x－β) ⋯ ＝ 0
この2式より、
f(x) ＝ (x－α) (x－β) ⋯
と表すことができます。
【補足2】
解と係数との関係は覚えていなくても作ることができます。
x² ＋ ax ＋ b ＝ 0 の解が x ＝ α,β とわかっているとき、【補足1】から、
x² ＋ ax ＋ b ＝ (x－α) (x－β)
と表せ、右辺を展開すると、
x² ＋ ax ＋ b ＝ x² －(α＋β)x ＋ αβ
と表せ、係数を比較することにより、
α＋β ＝ -a
αβ ＝ b
とわかります。
同様に三次方程式の解と係数との関係も、解が x ＝ α,β,γ とわかっているとき、
x³ ＋ ax² ＋ bx ＋ c ＝ (x－α) (x－β) (x－γ)
と表せ、右辺を展開すると、
x³ ＋ ax² ＋ bx ＋ c
＝ x³ －(α＋β＋γ)x² ＋(αβ＋βγ＋γα)x － αβγ
となり、係数を比較することにより、
α＋β＋γ ＝ -a
αβ＋βγ＋γα ＝ b
αβγ ＝ -c
となります。
方程式の解というのは、その方程式を満たす値のことを言います。
たとえば、
x ＋ 3 ＝ 6
のとき x ＝ 3 で等号が成り立ち、この方程式を満たします。
あくまで方程式を満たす値が解なのであって、x軸との交点が解というわけではありません。 与式のグラフと接線が接点で重解を持つという方程式を満たす x が今回の解なので接点のx座標が解になります。
すみません、図をつけ忘れてました😅