Question

ああ

【大至急お願いします！】
この写真の問題を教えて欲しいです。
可測関数、ルベーグ積分の問題です。
方針やヒントだけでも結構です！

2. R上の有界閉区間 I := [0, 2] で、関数 f を下記で定義する。
0 if x : [0, 1) 区間上の無理数
if π: [0,1) 区間上の有理数
if
X: [1,2] 区間上の無理数
x : [1,2] 区間上の有理数
f(x) =
1
X
1 if
この時
関数 f は B(I)- 可測となるか? 可測となると考えるときは証明しルベー
グ積分
S
を計算せよ。可測とならないと考えるときはその理由を述べよ。 (入はルベー
グ測度とする。又、「有界閉区間でリーマン積分可能であればルベーグ積分可
能でその値は等しい。」 を証明なしで使ってよい。)
fdx

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

crane

○fのB(I)可測性
fがB(I)可測を示すには、任意の実数aに対して
{x∈[0, 2] | f(x)<a} ∈ B(I)
であることを示せば良いです。そして、この集合は
a≦ 0のとき 空集合、
1< aのとき [0,2]、
0<a≦1のとき [0, a) \ Q　（[0, a)と有理数全体の集合Qの差集合）
なので、いずれの場合もB(I)に属します。

○積分計算
関数g : [0, 2] → Rを
x ∈ [0, 1)のときg(x)=0、
x ∈ [1, 2]のときg(x)=x
として定めると、gはリーマン積分可能なので、
ルベーグ積分可能であり積分値は等しいです。
また、ほとんど至るところf=gとなります。
（その理由：N={x∈ [0,2] | f(x) ≠ g(x)}とすると、
N=[0,2]∩ Q
故、N∈B(I)でかつNは可算、よってNは零集合。）

あとはgがルベーグ積分可能であることと、
ほとんど至るところf=gであることから、
∫fdλ = ∫gdλ
として計算できます。

こんな感じかと思います。

ああ

ありがとうございます！
参考にさせていただきます！