Question

R

統計学の知識ある方、以下にある式の導出方法分かりやすく教えていただきたいです。
分かるところだけでも教えてくれると嬉しいです😭
ちなみにこのサイトは、
統計学入門
http://www.snap-tck.com/room04/c01/stat/stat0001.html
これがリンクです。5章　5.5 各種手法の相互関係
って所です。

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allệ
(注3) 相関分析と同様に回帰分析の場合も信頼区間を求めることができま
す。まずyの推測値の信頼区間は次のようになります。 この信頼区間は母集
団のy推測値の100(1-α) % が含まれる範囲を表し、信頼限界と呼ぶことが多
いようです。
y=a+b=(my-bmx)+bx = my+b(z-mz)→(j-my)=b(x-mz)
VR VR
V(j-my) = V(j)+V(my)-2C(j,my) = V(g) + -2 = V(y) -
VR
=V
n
n
n
=V(b(z-mx))=(x-m²) 2V(b)=(x-m²) 2VR
S エエ
(x - ₂)²
2V (6) - Vx{1+ (².²}
=VR
n
S
x=X0の時のy推測値の100(1-α)% 信頼限界:
U
Dol=a+bro ±t(n-2,a) VR
-2,0)√| V₁ { 1/2 + ( 2 = m₂) ² }
n
S エ
mx:xの標本平均 Sxx:xの平方和
VR : 残差分散
VR
C(jj,my) = y推定値とmyの共分散
t(n-2, α): 自由度(n-2)のt
n
分布における100α%点
この100(1-α)% 信頼限界において、x=mxの時の値を計算すると次のように
なります。
VR
ŷOL =a+bm±t(n-2,0) VR・
-2,0) √/ VR { 1 1 1
+
(m₂ - m₂)²
S エエ
2²}. =my±t(n-2,a)V
n
n
これは値と残差分散が少し異なるだけで、 平均値の信頼限界(信頼区間) とほ
ぼ同じ式であることがわかると思います。 つまり回帰直線は平均値を2次元
に拡張したものに相当し、 y推測値の信頼限界は平均値の信頼限界を2次元に
拡張したものに相当することになります。
次にyの信頼限界を求めてみましょう。 もしaとbに誤差がない、つまりy推
測値に誤差がないとすると次のようになります。 これが許容限界になりま
す。
V(g) = V(g+c)=V(e) =VR
x=x0の時のyの100(1-α) % 許容限界: gol =a+bro ±t(n-2,a)VVR
you
x=mxの時: gol = my±t(n-2,a) VVR
しかし実際にはaとbには誤差があるので次のようになります。 これが棄却
限界です。 回帰分析の場合は棄却限界のことを予測限界 (prediction limit)と
呼びます。
(x-²))
S エ
n
n
SII
V(g+c)=V(g)+V(c) +2C(j,c)=VR
/R { 1 + (*² =− m ₂) ² } + V₁ + 0 = VR { 1 + 1 2 + ( x − m ₂ )² ]}
x=X0の時のyの100(1-α) % 予測限界:
1
(x-m₂)²
yoz=a+bro ±t(n-2.0)/VR
=t(n-2,α) √
-2,0) √/V₁ { 1 + 1 +
n
S エ
U
x=mxの時: yol = my ±t(n-2,a)
2, a) √/ VR (1+1)
VR
(1+
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allệ
しかし実際にはaとbには誤差があるので次のようになります。 これが棄却
限界です。 回帰分析の場合は棄却限界のことを予測限界 (prediction limit)と
呼びます。
(x-m₂)²
V(g+e) = V(g)+V(c) +2C(jc)=VR・
²{/1/2+
1+1+ (z_ma)2}
+VR+0 = VR
n
522 ₁
n
SII
x=Xの時のyの100(1-α)%予測限界:
YOL =a+bxo ±t(n-2,0)1/VR1+ +
Et(n=2,a) √
-2,0) √/VR { 1 + 1 +
1 (x-mz)2)
S エ
n
x=mxの時:yol=my±t(n-2,a) VR (1+
-2,0)√(√₂ (1+1)
20g
15+
95%予測限界
10- 95% 許容限界
95%信頼限界
10
15
20
図5.5.4 信頼限界 許容限界・予測限界
説明変数が2つ以上になった重回帰分析でも、これと同様に3種類の信頼限
界を計算することができます。 重回帰分析の信頼限界については第7章で説
明します。 (→7.2 重回帰分析結果の解釈 (注3)
通常、回帰分析ではxの値を指定してyの値を推測します。 しかしその逆
に、yの値を指定してxの値を逆推定したい時もたまにあります。 その場合、
xの逆推定値は次のようにして回帰式から逆算することができます。
g-my
xの逆推定値: (g-my)=b(z-mx) →x=mz+ b
この場合、yにもbにも誤差があるのでxの逆推定値の信頼区間は少し複雑に
なります。一般に、 2つの確率変数xとyの比の信頼区間は次のようなフィー
ラー (Fieller)の式で求めます。
(-5) = 2
L
gC(x,
= — -— , {(r - ⁹C (2,1)) + = √/
°C (z,y))
+ = √(V(y) - 2rC(2, y) + r²V(z) — 9 (V(v) – C(x,y)²
1-g
t2V (エ)
t=t(Φ,α):自由度のt分布における100α%点
g= 2:2
g<0.1の時はg=0とした近似式も用いられます。 そしてこの近似式はデル
夕法 (delta method)によって求めた比の分散を用いた信頼区間と一致しま
す。(→2.4差と比とパーセントの使い分け (注2))
t
r{ ≈r ± ± √ √V (y) — 2rC(x, y) +r²V(x)=r±t√V(r)
-
T
1
SE(y)
E(y)
VG-V(!) - EL [VG+ {EG)} *VG-2{(BLB) CH...
V(r)=v (²1)
2
V(y)
C(x,y)
E(x)²
E(x)
･・･･ デルタ法に
== {V(y) — 2rC(x, y) +r²V(x)}
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なります。一般に、2つの確率変数xとyの比の信頼区間は次のようなフィー
ラー (Fieller)の式で求めます 。
U
(²)=2
L
gC(x, y)`
t
C(x, y)2
- ₁ - , {(r - 90(2,3)) + ²√ √V (1) - 2rC(2,y) + rªV(2) — 9 (V(y) –
V(y) C(F)
V(x)
V(x)
x
1²V(x)
t=t(Φ,α): 自由度のt分布における100α%点
g=
2
g<0.1の時はg=0とした近似式も用いられます。 そしてこの近似式はデル
夕法 (delta method)によって求めた比の分散を用いた信頼区間と一致しま
す。(→2.4差と比とパーセントの使い分け (注2))
rº ≈r ± ± √V (y) — 2rC(x, y) +r²V(x)=r±t√/V(r)
2
1
E(y) V(x) - 2
V(r) = V (²)
v (₁1) ≈
1² V (1) +
E(x)²
y)
E(x).
2 {E()} C(2,₂)]. ･･･ デルタ法に
...
=⁄2{V (y) — 2rC(x, y) +r²V(x)}
よる近似分散
このフィーラーの式を利用して、xの逆推定値の信頼限界と予測限界を求め
ると次のようになります。
○100(1-α)% 信頼限界: 回帰直線上のy推測値として特定の値を
指定した時にxの逆推定値の100(1-α) %が含まれる範囲
ÿ-my Yd
=
(x-m₂) = Id=
=r
b
b
VR
VR
V(b) =
V(ya) = V(ŷ-my) = V(my) =
C(yd,b)=0
SI
n
1²VR
9= ² S
t=t(n-2, α):自由度(n-2)のt分布における100α %点
1
gC(ya,
t
U
-
TOL =
; {(r - ⁹C(46; b) ) ± g
=
(V(ya) – C(ya,b)²)
1-9
V (b)
√V (ya) — 2rC(ya,b) + r²V (b) — 9
= ₁ - , {r ±
√V(ya) + r²V (b) − gV (3a)}
t
1-9
(Tom)21
=
- - - - [(C²0 - 1.) + { √ ( ² - ² + (1 - 1)²}
(xo-m₂)
VR
1-g
n
1
t
zal =
TOL
(20 - 9m₂) + √(√x { 1-9 + (8 m₂)"}
(ro-gm₂)
VR
1-g
b
n 12
1
1-g (90-my)2
= — - [(-gm) + √(√x (¹-9 + (-5m²}]
√VR{
±
1-g
n
※g<0.1の時はg=0とした次のような近似式も用いられる。
t
(90-my)²
x² = 20 + √(√x { 1 + (²0 m²)²} - ² + √/v { + (-₂³² }
VR
(xo - m₂)²
Szx
20 √ 1
VR
SII
n
○100(1-α) % 予測限界 (棄却限界): 回帰直線を求めたデータとは
独立にyの値を観測した時にxの逆推定値の100(1-α)%が含まれる
範囲
y - my
Yd
(x - m₂) = xd =
=
=r
b
b
V(ya) = V(y − my) = V(y) + V (my) – 2C(y, my) = Vr + VR = Vr (1 + 1)
VR
V(b) =
C(yd,b)=0
SII
(xo-m₂)²
1
zač = ‚ —, [(*» – sm,») ± √(√x {(1– 0) (1 + ! ) + ~~-~~"}]
TOL
(ro-gm) 1 VR
g)
n
1-g
STI
1
- [(x₁ = am ²) + ²√ √ √₂ { a = a) (₁ + ²) + (yo − my)² } ]
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