Question

🐰

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応用
例題
6
考え方
6人を次のように分けるとき, 分け方は何通りあるか。
(1) A,B,Cの3つの部屋に2人ずつ分ける。
(2) 2人ずつの3つの組に分ける。
(2) は, (1) 部屋 A, B, C の区
別がない場合である。
{a,b} {c, d} {e, f}
↓
↓↓
A
B
C
(1) での
A
CO
B
分け方
たとえば, (2) での1つの分け方
{a,b},{c,d}, {e, f} におい
て、この3つの組に A, B, Cの
名前をつけると, (1) での分け方
が作られる。 (2) での1つの分け
B
A
C
10
方から, (1) での分け方が何通りずつ作られるか考える。
(1) 部屋Aの2人の選び方は C2通りある。
部屋Bの2人の選び方は残りの4人から選ぶので2通り
部屋 A, B の人が決まれば、残りの部屋Cの2人は決まる。
よって, 分け方の総数は,積の法則により
15
6C2×4C2=15×6=90
90 通り
(2) (1) で, 同じ人数の組 A,B,Cの区別をなくすと, 3! 通り
ずつ同じ分け方ができる。よって,分け方の総数は
90 90
3! 6
= =15
答 15通り
【?】 (1) Aに1人, Bに2人, Cに3人と分ける。
20
(2)1人,2人,3人の3つの組に分ける。
という問題の場合 (2) において (1) の答えを3! で割る必要があるだろ
うか。 また,それはなぜだろうか。
8人を次のように分けるとき, 分け方は何通りあるか。
(1) A,B,C,D の4つの組に、2人ずつ分ける。
25
(2) 2人ずつの4つの組に分ける。
(3)3人,3人, 2人の3つの組に分ける。
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イメージ
解答
目標 練習
33
5
第1章
場合の数と確率
海
洋
2

一般に, a が個, bg 個,cが個の合計n個全部を1列に並べ
る順列の総数を考えよう。
前ページの方法1の考え方では,33ページで学んだ
n!
nCr=
を使って次のように求められる。
r! (n-r)!
n!
(n-p)!
nCpXn-pCq=
x
p+gtr=n から
p!(n-p)!
q!(n-p-q)!
n-p-q=r
n!
p!q!r!
また,方法2の考え方では,次のように求められる。
1
n!
n!× × × =
p! g! r!p!g!r!
同じものを含む順列の総数
10
aが個, b が α 個, cr個あるとき, それら全部を1列に
並べる順列の総数は
n!
ただし p+g+r=n
p!q!r!
例
7個の数字 1,1,1,2,2,3,3の全部を使って, 7桁の整数を
11
作るとき,何個の整数が作れるか求める。
SCURSCI0002
15
同じ数字が3個 2個 2個あり,これらを1列に並べるから
7! 7･6･5・4･3・2･1
3!2! 2! 3･2・1×2.1×2･1
=210 (個)
補足 前ページの方法1の考え方では, 7 C3×4C2=35×6=210 (個) と求め
られる。
練習 BANANAの6文字をすべて使って文字列を作るとき, 何通りの文
34
20
字列が作れるか。
5
第1章
場合の数と確率

| 40 | 第1章 場合の数と確率
同じものを含む順列を利用して,道順の総数を求めてみよう。
応用
例題
右の図は,ある地域の道を直線で示
7
したものである。 交差点Aから交差
A
点Bまで遠回りをしないで行く最短
の道順は、 何通りあるか。
交差点から次の交差点まで行くのに、と↑の向きがある。 交差点
Aから交差点Bまでの最短の道順のいずれについても,向きに
4 回 ↑ 向きに3回移動する必要がある。
よって、最短の道順は、→4個と13個を並べた順列と対応している。
右へ1区画進むことをで,上へ
1区画進むことを ↑ で表す。
AからBまで行く最短の道順は,
A
→4個と3個の順列で表される。
よって, 求める最短の道順の総数は
図の道順を表す順列は
*
7!
7.6.5
→↑→↑↑→→
=35
35通り
4!3!
3･2･1
【?】 4 個の と3個の↑を置く7個の場所からを置く 4個を選ぶと
考えて道順の総数を求めてみよう。
目標
目標 練習 右の図のような道のある地域で,次の
B
35
ような最短の道順は何通りあるか。
(1) CからBまで行く。
C
(2) AからCを通ってBまで行く。
A
(3) AからCを通らずにBまで行く。
*応用例題7と同じように考えると, 18ページの道順の総数は
4!
れる。
-=6 (通り) と求めら
2! 2!
考え方
解答
S
E
目標
求め
うに
深める