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まず、この問題は英文を日本語に訳すことが最初のステップです。訳文を参考に見ていきましょう。
問題の英文は「猫が部屋に入れるようドアを開けた」と訳されています。これを修飾被修飾の関係が分かりやすくなるように言い換えると「猫が部屋に入れるようにするために、ドアを開けた」となります。
すなわち、「to enter 〜」という不定詞の内容は「opened 〜」という動作の目的を説明するものだということです。これが「副詞的用法（目的）」の意味です。
同じように、アの文は「to master 〜」が「practice」という動作の目的を説明しています。なので問いの答えはアとなります。
他の文も見てみると、イの文は「to get to 〜」が直前の「only one way」がどんなものなのかという説明をしています。これは名詞の説明をしているので「形容詞的用法」となります。
ウの文は「never to 〜」が「left home」にかかっている点で問題の英文やアの文と同じ「副詞的用法」ですが、先ほどの副詞的用法では不定詞が動作の目的を説明していたのと異なり、今回は「left home」という動作の結果を説明しています。なのでこれは「副詞的用法（結果）」と分類されます。
エの文は「to attend 〜」が「made」の目的語の役割を果たしている点で「名詞的用法」となります。このとき、不定詞を本来の目的語の位置に入れるのは長すぎて読みにくくなるので、身代わりに「it」を置いています。
オの文は「to drink」が「good」という形容詞を説明しています。何をするのに「good」なのかということですね。形容詞を修飾するときも動詞を修飾するときと同じく「副詞的用法」となります。
