Question

りーたん😎

質問です。
点と直線の距離の公式の証明についてです!
どうして下線の式はそうなるのでしょうか?
何故マイナスがx1やy1についてるのでしょうか??
a(x-x1)+b(y-y1)では何故ないでしょうか??
教えて下さい〜!
宜しくお願いします。

点Pが原点に来るように直線と点をずらす
y
(x1,1)
ax + by + c = 0
a(x + x1) + by + y1) + c = 0
x
0
x軸方向に-æ1、y軸方向に-y1 だけ平行移
動したので
点の座標は (0,0)となります。
直線の方程式は
a{x − (−x₁)} + b{y − (−y₁)} + c = 0
つまり
a(x + x1) + b(y + y1) + c = 0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

写真にあるように、
ある点(x₁,y₁)を原点に移動させるには、それぞれの座標を-x₁、-y₁するというのは良いでしょうか。

では直線ax+by+c=0も、同一方向へ移動します。
直線上の点を(x,y)、移動後の直線上の点を(X,Y)とします。
このとき、
X＝x-x₁、Y＝y-y₁　が成り立ちます。これは、
x＝X+x₁、y＝Y＋y₁　と変形ができますね。
(x,y)は元の直線上の点なので、代入して
移動先の直線は
a(X+x₁)+b(Y＋y₁)+c＝0
と書けるのです。

りーたん😎

コメントありがとうございます。
ごめんなさい、、
最初の3行は分かるのですが、
その後がよく分からなくて、、
もう少し詳しく教えて頂けますか??

きらうる

写真を追加しました。

ax+by+c＝0上の点(x,y)を(-x₁,-y₁)だけ移動した点を(X,Y)とします。
（(X,Y)は移動したグラフ上にあります。）

点(x,y)をx方向に-x₁、y方向に-y₁移動した後の点を(X,Y)としていますので、
x-x₁＝X、y-y₁＝Y
と表すことができます。
これを式変形して、
x＝X+x₁　y＝Y+y₁

x,yはax+by+c=0上にあるので、
(X+x₁,Y+y₁)をこの式に代入して
a(X+x₁)+b(Y+y₁)+c＝0

という式になります。

いかがでしょうか。

りーたん😎

返信ありがとうございます。
分かりました～!!!!
本当、有り難いです(^^)
ありがとうございました。