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不定詞[to perform](演じる、実行する)が入れる場所と文の意味を考えます。
(1) イ
①Many people like(動詞) [to perform](不定詞-名詞的用法:動詞likeの目的語) plays at the theater on Saturday.
多くの人々は土曜日に劇場で芝居をしたいと思っている。
※like to ~ ~したい(と思う) ← ~することを好む perform a play 芝居をする、芝居を上演する
②Many people like plays(名詞) [to perform](不定詞-形容詞的用法:名詞playsを修飾する) at the theater on Saturday
多くの人々は土曜日に劇場で芝居が上演するのが好きである。
※like plays to perform:performの「意味上の主語」がplays(演劇、芝居)になり、「芝居がする」というおかしな意味となるので✕
芝居を演じたり実行する主語はMany people(多くの人々)であり、芝居が自分で演じたり、実行はしない。
Many people like plays to be performed(不定詞・受動態) at the theater on Saturday. であればOKです。
(2) ウ
The new drama group started [to perform](不定詞-名詞的用法:動詞startedの目的語) plays.
新しい劇団は芝居を始めた。
※start to ~ ~し始める ← ~することを始める

参考にしてください。

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