✨ ベストアンサー ✨
難しかったです！
大問1 3
大問2 10通り
大問3 8
大問4 8、9
残りも出します‼︎
打つ方が早いのでここからは文字で打ちます
読みにくかったらすいません🙇♀️
大問7 答え253本
全部で27個の頂点があり，この中の2点を通る直線が何本あるのかを求めればいいのですが，
2点でなく3点通る直線もあります。
重複する直線をあとで引く，という方法で求めます。
[解答]
27個の頂点のうちの2点を通る直線の本数は，
重複もふくめて，
27×26÷2＝351（本）
この中には，2点だけを通る直線と3点を通る直線があり，3点を通る直線は
3回重複して数えられている。←Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上にある場合，直線ＡＢ，直線ＢＣ，直線ＡＣの３つがカウントされている。
次に，3点を通る直線の本数を求める。
立方体の1つの面上にある3点を通る直線の本数は，
合計8本であるため、
立方体の6つの面のうち互いに垂直な3つの面をア，イ，ウとし，このそれぞれに平行な直線の本数
（面上の直線も含む）を数えるます。
アに平行な3点を通る直線は，8×3＝24（本）
アに平行でなくイに平行な3点を通る直線は，5×3＝15（本） ←上の24本で数えたものはのぞく。
アにもイにも平行でなくウに平行な3点を通る直線は，2×3＝6（本） ←上の24本，15本で数えたものはのぞく。
よって，これらの合計は，24＋15＋6＝45（本）
一辺が2の立方体の対角線4本も，3点を通る直線だから，これをふくめて，合計49本。
よって，求める直線の本数は，
351－49×2＝351－98＝253（本） ←全体から，重複した3つのうちの2つ分を引く。
大問8 答え875
1から99までの奇数は50個あります。
これを全部掛けて計算するわけにはいきません。
下3桁とは，掛けあわせた積を1000でわったときの余りなので，1000＝8×125と考えて8でわった余り
を調べます。
[解答]
1以上100以下の奇数50個の積をTとする。
Tの下3桁の数は，Tを1000でわったときの余りである。
ここで，1000＝8×125であり，Tは125でわり切れる。
T＝（5と25を除く１から99までの奇数積)×5×25
と考え，（ ）内の値を8でわった余りを考える。
いま，
1×3×7＝21を8でわった余り＝5
また，
9×11×13×15＝
（8＋1)(8＋3)(8＋5)(8＋7）＝8×（整数）+1×3×5×7
と表されるので，
9×11×13×15を8でわった余り
＝1×3×5×7を8でわった余り＝1 ←4つをセットにするのがポイントです。
同様に，
17×19×21×23を8でわった余り＝1×3×5×7を8でわった余り＝1
27×29×31を8でわった余り＝3×5×7を8でわった余り＝1 ←25は除くが，同じ余りになる。
33×35×37×39を8でわった余り＝1×3×5×7を8でわった余り＝1
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
89×91×93×95を8でわった余り＝1×3×5×7を8でわった余り＝1 ←ここまで，全部1になる。
97×99を8でわった余り＝1×3を8でわった余り＝3
以上より，（5と25を除く１から99までの奇数の積）を8でわった余りは，上記の余りをすべてかけ
あわせて， 5×1×1×・・・×1×3＝15
これを8でわった余りに等しいので，7となる。
よって，
（5と25を除く１から99までの奇数の積）＝8 M＋7
と書けて，
T＝（8 M＋7）×5×25＝1000 M＋875
Tを1000でわったときの余りは875だから，Tの下3桁の数は，875
大問9 答え9分の4
ABCを底面として立体をかくのはわかりにくい。OXと，OA，OB，OCのなす角が30°なので，まずは
OA，OBをのばして正三角錐をつくります。
[解答]
OA，OBを延長してOA1＝OB1＝4となる点A1，B1をとる。
△OA1B1≡△OB1C≡△OCA1
２辺とその間の角が等しい。
だから，A1B1＝B1C＝CA1
よって，△A1B1Cは正三角形であり，三角錐OA1B1 Cは正三角錐である。
OXと△A1B1Cの交点をX1とすると，∠A1O X1＝∠B1O X1＝∠CO X1＝30°だから，
△OA1X1≡△OB1 X1≡△OC X1 ←２辺とその間の角が等しい。
よって， A1X1＝B1X1＝CX1
X1は△A1B1Cの重心となるので，OX1⊥△A1B1C
△OA1X1で， A1X1＝2
正三角錐OA1B1 Cの体積は，
次に，三角錐OABCと三角錐OA1B1 Cの体積の比を考える。
まず，△OAB：△OA1B1＝（2×3）：（4×4）＝3：8 ←はさむ角が同じなので，２辺の積が面積の比となる。
これらを底面と見ると，高さが等しいので，体積の比も３：８となる。
ほんとに分かりやすかったですありがとうございました
大問10 答え3736
式が複雑で４桁の数があるので，置き換えをしてもう少しシンプルにします。
[解答]
a＋2000＝A，b－2000＝B，c＋2000＝C，
d－2000＝D，e＋2000＝E，f －2000＝F
とおくと，
３つの条件の式は，
( A－1 )(B＋1 )(C－1)＋( D ＋1 )
(E－1 )(F＋1 )＝1 ……①
A B C＋D E F ＝10 ……②
(A＋1 )(B－1 )( C＋1)＋(D－1 )(E＋1 )(F－1 ）
＝100 ……③
求める式は，
T ＝（ A＋9 )(B－9 )(C＋9)＋(D－9 )(E＋9 ）
(F－9)
となる。
①より，
A B C＋（－A B－B C＋C A ）＋（－A＋B－C ）＋D E F＋（ D E＋E F－F D ）＋（－D＋E－F ）＝1
整理すると，
(A B C＋D E F）－（A B＋B C－C A－D E－E F＋F D ）－（A－B＋C＋D－E＋F ）＝1
(A B＋B C－C A－D E－E F＋F D)＋
(A－B＋C＋D－E＋F ）＝9 ……④ ←②を代入
③より，
A B C＋（A B＋B C－C A ）＋（－A＋B－C ）＋D E F＋（－D E－E F＋F D ）＋（－D＋E－F ）＝100
整理すると，
( A B C＋D E F）＋（A B＋B C－C A－D E－E F＋F D）－（A－B＋C＋D－E＋F ）＝100
(A B＋B C－C A－D E－E F＋F D）－（A－B＋C＋D－E＋F ）＝90 ……⑤ ←②を代入
④，⑤を解いて，
A B＋B C－C A－D E－E F＋F D＝99÷2＝49.5
A－B＋C＋D－E＋F＝－81÷2＝－40.5
よって，
T ＝A B C＋9（A B＋B C－C A ）＋
81（－A＋B－C ）＋D E F＋9（－D E－E F＋F D ）＋81（－D＋E－F ）
＝（ A B C＋D E F ）＋9（A B＋B C－C A－D E－E F＋F D）－81（A－B＋C＋D－E＋F ）
＝10＋9×49.5－81×（－40.5)
求めた値が代入できる
＝3736
分かりにくくてすいません🙇♀️
あと、大問5がわからないです🙇♀️
大問6 答え30