Question

M6qT48

　微分方程式についての質問です。
　写真はある円の微分方程式を求める方法について２通りの説明をしています。
　赤枠の部分がどのような過程で求まったのかが分かりません。

　自分は
△PTA∽△QPA
∴∠QPA=∠PTA=θ
∴AQ=PQtanθ
だと思いました。

(I-1図参照),この円群に属する円を任意にとり, その中心を, A(c,0) とすれ
である。ところが, PA と PTは直交するから, I-1図からわかるように
I- 第1章 微分方程式
2
平面上で、エ軸上に中心をもち, 半祐一定の長さょである回m.
ば、この円の方程式は
YA
--y=r
P(エ)
P
T
A(c0)
0
X
リ=ーr
I-1図
(ェ-c)+ y° =r?
である。ここで,定数cに種々の値を与えることによって,この円群に属士る
すべての円の方程式が得られる。そこで, この(1)をいま考えている円群の方
程式という。また,定数cには任意の値を与えることができるから, cを任意
定数という.さて, この円群に属するすべての円が共通にもっている性質を求
めるために,方程式(1)から出発して任意定数cを含まない関係を求めよう。
そのために,(1)の両辺をェで微分すれば
(z-c)+ y = 0
が得られる。そこで, (1) と (2) から文字cを消去すれば
dy
+ y° = r?
de
が得られる。これが求めている共通性質であって,これは1階微分方程式での
る。さて,I-1図のように,点 A(c.0)を中心とする円群に属する円を考え,て
の上に任意の点P(x, y) をとり,点Pにおける接線を PT とすれば
PQ? + AQ? = AP? =D r

S1 微分方程式
3
PQ = 9
AQ = PQ cot φ= -PQtan0 = - yy
π
p=0+
である。これを上式に代入すれば,上の微分方程式(3) が得られる。したがっ
て、微分方程式(3)はこの円群 (1)に属するすべての円が共通にもっている
性質であることが, 幾何学的に確かめられた。
一般に,座標 (r, y) と任意定数cを含む方程式
F(r,y,c) = 0
は平面上で曲線の集まり, つまり曲線群を表す.上の(4) でcの値を固定する
たびにこの曲線群に属する曲線が1つずつ得られる。さて, この曲線群に属す
るすべての曲線が共通にもっている性質を求めるために, 上の円群の例になら
って,(4)の両辺をrで微分すれば (yをむの関数y(z) とみなして, (4) の両
辺をrで微分すれば)
F(z,9, c) + F,(r, y, c)y' = 0
が得られる。そこで, (4) と(5)から文字cを消去すれば, エ,y,y' を含む方程
式
f(z,9, y') = 0
が得られるはずである。これは1階微分方程式であり, これが求める共通性質
である。このとき,(6)を曲線群(4) から導かれた微分方程式, または簡単に
(4)で与えられた曲線群の微分方程式という.まとめて
1つの任意定数を含む曲線群は1階徴分方程式を導く。
例題1 次の曲線群が導く微分方程式を求めよ。
= 4cz
(cは任意定数)
【解答】与えられた方程式
g= 4cz
と,その両辺をむで微分して得られる
y = 2c
から文字cを消去すれば, 求める1階徴分方程式
2.ry -y=0
が得られる。

微分方程式 曲線群 円群 直交 接線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

単なる鈍角の三角比のお話だと思います。

M6qT48

返信遅れてすみません。
回答ありがとうございます。
意見を参考に考え直してみます。