基本例題 102 無限等比級数
ZXOY[=60°]の2辺OX, OY に接する半径1の
00
円の中心をO, とする。 線分OO, と円 O. との交点
n番目と(n+1)番目の関係を調べて漸化式を作る !
円 O, On+1 の半径をそれぞれrn, Tn+1 として, rn と rn+1 の関係式を導く。直角
164
Y
基
を中心とし, 2辺 OX, OY に接する円をO。 とする。
以下,同じようにして, 順に円O3,
を作る。このとき, 円 Oi, Oz,
を求めよ。
の面積の総和
O
60°
S
基本10
CHART OSOLUTION
MOITUIO
図形と極限
n番目と(n+1)番目の関係を調べて漸化式を作る
三角形に注目するとよい。
解答
38
Y
円 O,の半径,面積を, それぞれTn, Sn
とする。円O は2辺OX, OYに接し
ているので,円O0円の中心 Onは, 2辺
OX, OY から等距離にある。
よって,点O は LXOY の二等分線上
2r。
2rm+1.
+1
ロ
H
X
にある。
0
30° +1
ゆえに,ZXOOォ=60°÷2=30° であるから
00=2rn
これと O,0n+1=00ォ-00n+1 から
Tカ=2rn-2rn+1
千円O,とOXとの接点
をHとすると, △0,0H
は3辺が2:1:30
比の直角三角形。これ
に着目して, Ta+i とた
ケ
『ゆえに
アn+1=
n
また
1=1
の関係を調べる。
カ=() したがって
2
60°
よって
n-1
2
Sn=Tr=)
30°
ゆえに,円O., O2,
……の面積の総和M S,は, 初項π, 公比
1
の無限等比級数である。 公比<1 であるから, 和は収
4
束し,その和は
4
Tπ
13
1
