Question

寧々

y＝(logx)²/x の関数の極値を求めよという問題です。
増減表が書けません…。xに適当な数を代入してy´の符号を求めたいのですが、解けなくて困っています。

例えば、log0.1＝Aと置いてe^A＝0.1でAは負の値までは分かるのですが、そこからわからないです。
log1.5＝Bとしてもe^B＝1.5からわからないです。
計算方法を教えていただきたいです。
よろしくお願いします🙇‍♀️

(2) 定義域は
x>0
2.(logx)
y=
1
*x-(logx)?· 1
(2-logx)logx
x
x?
x?
y= 0 とおくと
よって, yの増減表は次のようになる。
x= 1, e°
x
0
1
e?
VA
0
0
4
y
4
e?
0
e?
e?
ゆえに,この関数は
4
x= e° のとき極大値
e?
x=1 のとき 極小値0
(3) 定義域は
x>0

極値 微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

どうしてもx=0.1, 1.5で計算したければ、電卓を使うしかないと思います。
それより、logxの値が計算できるxを選ぶ方がいいでしょう。
底がeの指数であればlogxが計算できます。
各区間について、x=1/e, e, e³を用いるといいでしょう。
①log(1/e)=loge⁻¹=-1より
y'={2-(-1)}(-1)/(1/e)²=-3e²＜0
②loge=1より
y'=(2-1)∙1/e²=1/e²＞0
③loge³=3より
y'=(2-3)∙3/(e³)²=-3/e⁶＜0

[別解]
y'=(2-logx)logx/x²＞0を解きます。
x＞0よりx²＞0なので、両辺にx²をかけても不等号の向きは変わらず、
(2-logx)logx＞0
logx=tとおいて、
(2-t)t＞0
t²の符号を正にするために両辺に-1をかけて、
t(t-2)＜0
tについて解くと、
0＜t＜2
0＜logx＜2
xについて解くと、
1＜x＜e²
それ以外ではy'≦0となります。
一応確かめてみましょう。
y'＜0とおいて、
(2-logx)logx＜0
t(t-2)＞0
t＜0, 2＜t
logx＜0, 2＜logx
x＜1, e²＜x
となります。

寧々

なるほどー！理解できました。
底がeの指数を使えばいいんですね。
学校であまり演習できなかったのですごく助かりました。それと、別解もありがとうございます！🙇‍♀️