Question

あやの

(2)の問題から解説の1行目になるまでの途中式(？)が分かりません。？の波線部分は(2)の問題のどこから現れたのでしょうか？

135
練習問題6
次の式を簡単にせよ。
(1) cos(-0)+sin(0+x)+sin(0+2x)+cos(πー0)
+0)sin(元ー0)-cos(3π+0)sin(0-
2
COS
講先ほど学んだ公式を練習してみましょう.もし公式にないような形
が出てきても,公式の形をうまく組み合わせて対応しましょう。
解答
(1) cos(-0)=cose, sin(0+π)=-sin0
sin(0+2z)=sin0, cos(πーθ)=-cos0
なので、
Y=X\
与式=cos0-sin0+sin0-cos0=0
円を反時
回ってい。
π
+0=cos
-(-の)
COS
π
-A)=sinA
2
COS
=sin(-0)
Y=X.
関して
=-sin0
sin(πー0)=sin0
cos(3π+0)=cos(元+0+2z)
π
cos(A+2π)=cos A
2
=cos(元+0)
=-cos0
π
sin 0-
π
=sin
2
aie
sin(-A)=-sinA
π
=ーsin
2
=-cos0
なので
与式=-sin0.sin0-(-cosθ)· (Icos0)
で =ー(sin'0+cos'0)
(sin°0+cos'0=1
=-1
コメント
で紹介
ページ
先ほどのほとんどの公式は, この後に登場する加法定理から導き出すことも
可能です。
第4章 業

133
三角関数の性質
これから,三角関数の定義から導かれるさまざまな公式を1つずつ紹介して
いきます. その分量にうんざりしてしまうかもしれませんが, ポイントはこれ
らの公式を丸暗記しようとしないで必要なときに自分で図をかいてを導き出せ
るようにしておくことです. 公式を学ぶ上では,「忘れない」ことよりも「忘
れても導ける」ことの方が大切なのです。
右図のように,0に対応する点をPとし
ます。この点から円の1周分(2)を進めば、
元の場所に戻ってくるのですから, 0が
0+2π に変わっても三角関数の値は変わり
ません. つまり, 次の式が成り立ちます。
傾きー
Y
0
IP
同じ位置
0+2π
-1
042 /1 x
-1
sin(0+2π)=sin0
cos(0+2元)=cosθ
tan(0+2π)=tan0
-0に対応する点を P'とすると,Pと P'は
単位円周上でX軸に関して対称な位置にありま
す。2つの点を比べると, X座標は同じで, Y
座標は符号が反対になっています。また,直線
OP と直線 OP'の傾きは, 符号が反対になって
います。このことから, 次の式が成り立ちます。
Y
1P
0
0
X軸対称
0
O
-0/1 X
-1
P
-0
sin(-0)=-sin0
. cos(-0)=cos0
tan(-0)=-tan0
cos はそのまま
sin と tan は
符号が反転
πー0 に対応する点をP'とすると,PとP'は単位
円周上でY軸に関して対称な位置にあります(点Pは
(1, 0) からスタートして単位円を反時計回りに回り,
点P'は(-1, 0) からスタートして単位円を時計回り
に回っているとイメージするとわかりやすいでしょ
う).2つの点のX座標は符号が反対で, Y座標は同
じです。また, 直線 OP と直線 OP' の傾きは符号が
反対になっています. このことから, 次の式が成り立
ちます。
Y軸対称
Y
1p
π-0
0
したも
-1
0| 1x
単位
値のぎ
第4章

たものを覚えておけば, それを組み合わせることで対応できます。 次ページ
134 第4章 三角関数
(sin はそのまま
sin(πー0)=sin0
* cos(元ー0)=-cos0
tan(元-0)=-tan0
cos と tan は
(符号が反転
元+0 に対応する点をP'とすると,Pと P'は単
位円周上で原点対称な位置にあります。 2つの点の 原点対称
*座標とY座標はともに符号が反対となり,直線
OP と直線 OP'の傾きは同じです。 このことから,
次の式が成り立ちます。
Y4
老ほど学ん
10
0/0
が出てきて
-1
IP
cos(-0)=cos
sin(8+2z)=si
π+0
-1
sin(元+0)=-sin0
cos(元+0)=-cosé
tan(π+0)=tan0
tan はそのまま
sin と cos は
(符号が反転
与式=cosd-si
エ+01=C
2) cOs
なので
π
最後に, -0に対応する点を Pとすると, Pと P'は直線 Y=X
2
十)
して対称な位置にあります(点Pは(1, 0) からスタートして単位円を反時計
りに回り,点P'は (0, 1) からスタートして単位円を時計回りに回っている。
イメージするといいでしょう). Pの座標が
(a, b)ならば,それを Y=X に関して対称
移動した点P'の座標は(b, a)と,X座標と
Y座標が入れ替わります. また,直線 OP と
=S
0
Y=Xに
Y
1p
関して挑
Y=X)
sin(xー0)=s
Cos(3r+0)=
0
--ート
P'
2
π
直線 OP'の傾きは,
b
1x
a
とそのように逆数の
b
a
関係になります。 このことから, 次の式が成
り立ちます。
-1
Sin
sin
-0=cos0
2
(sin と cos が
π
COS
-0=sin0
入れ替わる
なので
tan は逆数に
1
与式=-si
tan
ー0
なる
2
tan0
他にも,このタイプの公式はいくらでも作れますが, 基本的には上で紹バり
ニー1
コナント
ニー(に
練習してみましょう。
先はとのほと
可能です。
I|
ンen
nlorfpos ay
DuIst(0-ノsa
9

三角関数