下から6行目が分かりません。

数学

大学生・専門学校生・社会人

解決済み

約3年前

estj

下から6行目が分かりません。
「f'(x)に上の公式を適用～｣とありますがε1は微分されてないのは何故でしょうか？上の方にε1はxの関数と書いてあるので定数ではないですよね？

また、下から2行目の「最後の項をε2とおくと～」で
(6)式でなぜε2/(x-a)²の極限をとっているのか分かりません。合わせてよろしくお願いします。

第1章関数の展開問1 次の関数の() 内の点における1次近似式を求めよ。 (1) f(z) = sin e (r=0) (2) g(r) = V ("=1) (2) 式において、左辺から右辺を引いた差で定まるeの関数を e, とおく。 f(x) - f(a) -f(a)(2-a) %3D €y 関数 E,= €, (z) はaを含む区間で連続でリ= f(z) lim e, = €, (a) =0 エ→a となる、さらに、 (3) を変形した式 f(x) E1 f(x) - f(a) E1 -f(a) = C-a -a と(1)より、次の式も成り立つ。 f(a) f-to- foalcce - falGca, E」 lim = 0 エ→a C ーa (3), (4) より次の公式が得られる. 1次式による近似 E1 f(x) = f(a) + f (a) (x-a) +£. ただし lim = 0 エ→a C - 0 次に,関数f(z)は定数aを含む区間で2回微分可能とする。 f'(z) に上の公式を適用すると f(z) = f(a) +f"(a)(x-a)+e 両辺をaからまで積分して | r() da= | f) +"@(a-a)+s,}dr a f"(a) f(x) - f(a) = f(a)(r-a)+(-a)"+ / e, de (5) 2 右辺の最後の項を ea とおくと, ロピタルの定理と(4) より E2 Eg E1 lim (r-a)? lim lim 2(r -a) = 0 ニエ→a エ→a エ→a

回答

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暇つぶし

約3年前

最初の質問は、「上の公式」を微分したのではなく、
「上の公式」における f(x) を f'(x) に置き換えて適用しています。
2つ目の質問はテキストの今後の流れを見ないと動機はわかりません…

暇つぶし約3年前

2番目の方、剰余項(級数展開と関数の誤差)が
o(|x-a|^2)
ということを言いたかったんですかね。
一次式の近似では
o(|x-a|)
だったのが、二次式までの近似では
o(|x-a|^2)
となって、近似精度が上がってます、ということかと思います。

estj 約3年前

一応続きです。二次近似式では精度が上がったんですね。突然出てきてびっくりしました。

estj 約3年前

すみません。最初の質問の回答上の公式のf(x)をf'(x)に置き換えてるという説明でもイマイチ理解出来ませんでした。これ以上ないとは思いますがもう少し詳しい説明が頂けると助かります

暇つぶし約3年前

まず、近似精度の方から…
テイラーの定理からネタバレしてしまいますと、
（面倒なのでfは3回微分可能とします。
これはあまり気にしないでください。）
ε1 は (x-a)^2 に比例し、
ε2 は (x-a)^3 に比例します。
ε2/ε1 = x-a
より、ε2 は ε1 より早く 0 に近づきます。
つまり、x を a に近づけたとき、
二次近似の方が早く誤差が小さくなります。
もし気が向いたら適当に a を設定して、
電卓とかで確かめてみてください。