Question

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101 の問題で答えのように微分しない方法でしめしたいのですが、答えの言っていることがわかりません。
教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

101 双曲線 ー
-=1(a>0, b>0) 上の点P(x1, y) における接線の方程式は
Xx
-=1 で与えられることを示せ。
29

4STEP数学I
y=m(xーズ))+y·?
32
接線の方程式は
のをポ+y=1に代入して整理すると
(m'+1)x°+2mn.x+n?-1=0
1
し,定数項をkとすると
(a'm?-69ポー2a*m(mx,-y)x+k=0
ャャ*3
のの判別式を D, ③の判別式を D:とすると
D,=(2mn-35)-4m'n?
=-35(4mn-3V5)
b
D。
学=(mn)-(m°+1Xn?-1)
3は1次方程式になる。
=m°-n?+1
土
したがって,双曲線① の接線で傾きがよ6
D;=0, D,=0 であるから
4mn-35=0
a
であるものは存在しない。
(i) α'm?-6°キ0すなわち mキ土ーのとき
b
m?-n°+1=0
3,5
6
直線②は, Pにおいて双曲線① に接する
から,x=x;は2次方程式③の重解である。
のから
4m
これを6に代入して整理すると
16m+16m?-45=0
(4m?-5)(4m?+9) =0
a'm(mx,- yi)
X」=
a°m?-b?
よって
よって
mは実数であるから
m=+-
2
分母を払うと
3
1=±;(複号同順)
a'x,m?-6?x=a'xjm?la'y,m
このとき,⑥ から
a°ym=6°x
6°x」
m=
a'y
すなわち
よって,求める共通接線の方程式は
V5
3
V53
キ0であるから
y=
2*+ リ=ー2*ー。
これを2に代入して整理すると
100
点る-10 とする。
学一--
2
2
9
点(3, 4)を通る接線はy軸に平行でないから,
a?
6?a? 62
P(x, )は双曲線①上にあるから
y=m(x-3)+4
とおける。2を①に代入して整理すると
2
2
(16m?+9)x?-32m(3m-4)x
=1
62
a?
+16(9m?-24m+7)=0 ③
したがって,接線の方程式は
③の判別式を Dとすると
X1x
D=16°m33m-4°
4
Viy
=1
62
a?
の
[2] 点Pが×軸上にある, すなわち y=0 のと
ー(16m?+9)- 16(9m?-24m+7)
=144(7m?+24m-7)
2がOに接するとき, D=0であるから
点Pは,点(a, 0) または点(-a, 0) である。
点(a, 0) における接線の方程式は
点(-a, 0) における接線の方程式は x=-a
一方, ④ で(x), y)3 (a, 0), (-a, 0) とする
と,x=a, x=ーaが得られる。
したがって, y=0のときも接線の方程式は
のである。
[1, [2] から,双曲線① 上の点P(x1, ) におけ
7m?+24m-7=0 (
この2次方程式の2つの解をm,_ m。とすると,
m, m,が2本の接線の傾きを表す。
X=a
解と係数の関係から
m;m2=-1
よって,2本の接線は直交する。
101 y?
-=D1
..0 とする。
9_20
[1] 点Pが×軸上にない, すなわち yキ0 のと
る接線の方程式はー
X1x
き
1)
a
62
=1である。