✨ ベストアンサー ✨
一度、あきらかに間違ったことを書いてしまいました。
質問者さんの混乱を防ぐために誤った解答は消します。
allとbothは
（A）all/both of 特定された名詞（複数形）
Both of his parentsのパターン
all/bothは代名詞
特定されたというのは、
・the/所有格/these ・thoseなど「限定詞」が付く
・一語の人称代名詞 ofの後ろなのでus/you/them
のことです。（限定詞 ネットで調べてみてください）
A of Bは
「BのなかのA」「ある特定の範囲Bに含まれるA」
ということなので、名詞Bは特定された名詞じゃないとおかしいです。
（B）all/both + (限定詞) ＋ 名詞（複数形）
Both his parentsのパターン
all/Bothは形容詞
限定詞はあってもなくても良いので、
限定詞のない名詞の場合はこちらになります。
ただし、一語の人称代名詞はこの語順は不可。
代わりというわけではありませんが、↓（C）という特殊な語順があります。
（C）一語の複数形の人称代名詞 + all/both
複数形の人称代名詞というのは
we・us / you / they・them のことです。
We all とか them bothというような言い方です。
主語の位置ならweやtheyに、目的語の位置ならusやthemになります。
限定詞という言葉は検索してみてください。
ただし全ての限定詞がこの表現に使うことができるわけではありませんが。
（A）〜（C）は基本的にはどれも同じ意味になるので、画像の選択肢①③はどちらでも間違いでないようにも見えます。
では①は何が違うのでしょうか。
③は「彼の両親」という限定された範囲の中の「両方」、つまり彼の父親も母親も、
という意味に確実になります。
それに対して
①のbothは形容詞的にparents（両親）を修飾しているだけなので、
片親parent が両方both 居て、both parents
（この場合は③と同じ「両親・父母」の意味）
なのか、
両親parents が 両方 both 居る状態（例えば、血のつながった両親と生き別れになって、育ての父母が別に存在する とか）
を指しているのか、
明確に区別できないのではないでしょうか。
産みの両親と育ての両親がいるとしても、彼を留学させた、のはどちらか一方でしょうから、状況的には、物理的に不可能ではないけど、かなり奇妙だと判断して消去する、とかかなぁ。
1つの意味に確定できて、しかもその意味が合理的なのは、間違いなく③の方です。
とても分かりやすかったです🙇🏼♀️
ありがとうございます！