Question

大学生

こちらの問題についてです。(ウ)なのですが、線引きした部分の式がどうして成り立つのか分かりません。教えていただけたらありがたいです

問6 右の図は,1辺の長さが6 cmである正方形 ABCD を底面と
し、点Eを頂点とする正四角すいであり, AE =D BE = CE =
DE = 3V5 cm である。
また,2点F, Gはそれぞれ線分 AD, EF の中点である。
このとき,次の問いに答えなさい。
D
B
A
(ア) この正四角すいにおいて, 線分 BF の長さとして正しいものを次の1~6の中から1つ選び,その番号
を答えなさい。
1. 3V2 cm
2.5cm
3. 3V3 cm
4. 3V5 cm
5.7cm
6.
8cm
(イ) 3点G, B, Cを通る平面と点Eとの距離として正しいものを次の1~6の中から1つ選び, その番号
を答えなさい。
1. cm
3. cm
2.2cm
5.2V3 cm
6. 3V6 cm
4. 3cm
(ウ)この正四角すいにおいて、3点B, E, Fを通る平面で切り, 2つの立体に分ける。点Cを含む立体に
おいて,辺 BC上に BP: PC = 2:1となる点Pをとり,辺BE上に線分 FQと線分 QP の長さの和が最
も小さくなるように点Qをとる。 このとき, 4点Q. G, B, Pを結んでできる立体の体種を求めなさい。
G

(ウ) AEFB, △EBC を辺 EBがつながった状態で展開し,
四角形 FBCE をつくると下の図のようになる。
F
E
B
'C
BF = BE = CE = 3V5 cm, EF =\BC = 6 cm より,
四角形 FBCE は平行四辺形である。FQ + QPが最短に
なるように点Qをとると,点QはFPと BE との交点
となるので、
DVDD
EQ:QB = EF:BP = 3 :2
点Qから線分BG に垂線をひき, 交点をHとすると,
6
QH // EG だから,QH 3D EG =D×33D (cm)
点Cを含む立体について, △BCG の辺の長さを三平方
の定理を利用して求めると,
BG = CG = BC = 6 cm
2
2
ABPG %=D子ABCG =×ナ×6×3v3=6V3(cm')
12V3
-(cm)
5
6
よって,求める体積は
, ×6V3×

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

1つ目のマーカー
BGを結ぶと、△BEFはBF＝BEの二等辺三角形なので、BG⊥FE
QからBGに垂線を引くと、
△BHQ∽△BGEから、
BQ：BE＝QH：EG
→　2：5＝QH：EG
→　5QH＝2EG
→　QH＝2/5×EG

2つ目のマーカー
BP：PC＝2：1から、
BP：BC＝2：3
△BPG：△BCG＝BP：BC＝2：3
→　3△BPG＝2△BCG
→　△BPG＝2/3×△BCG
△BCGは、BG＝CG＝BC＝6の正三角形から、
高さは、60度の直角三角形の比を用いて
2：√3＝1辺：高さ
→　2：√3＝6：高さ
→　高さ＝3√3
△BCG＝1/2×底辺×高さ
　＝1/2×6×3√3
　＝9√3
△BPG＝2/3×9√3＝6√3

3つ目のマーカー
体積を求めたい三角錐は、底面が△BPG、高さがQHなので、
体積＝1/3×△BPG×QH
　＝1/3×6√3×6/5