Pを基本行列の積とした時、行列式|P|の値ってどのようなものになりますか？ ※|AB|=|A||B|の証明で使いたいです

Pを基本行列の積とした時、行列式|P|の値ってどのようなものになりますか？

回答

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2年以上前

Pを構成する基本行列の種類,数によります。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%A4%89%E5%BD%A2
上のwikiの記法で
Pは-1
Qはc
Rは1
の行列式をもつので、これらの積になります。

基本変形基本行列

estj 2年以上前

すみません。。理解力不足でして回答者様の考え方がよく分からないので下の私の考え方で適用できるか教えて頂きたいです

A, B, ABがそれぞれ基本行列の積で表せることから正則行列であり、それを上手く変形して(ここで基本変形？)その行列式を取ったものからdet(AB)=det(A)det(B)としたいです。なので具体的な値というか行列式の値を2つの行列式の値の積に直したいと考えてます

Crystal Clear 2年以上前

まず行列を基本変形することは、行列の右または左から基本行列をかけることと同じことです。
だから基本変形を繰り返して簡単な行列にするというのは、行列の右または左に繰り返し基本行列をかけて簡単な行列にすることです。

基本変形をすること(基本行列をかけること)で行列式がどのように変化するかは、
Pの変形(Pをかけることで)で-1倍
Qの変形(Qをかけることで)でc倍
Rの変形(Rをかけることで)で1倍
になります。これは別途証明が必要です。

「A, B, ABがそれぞれ基本行列の積で表せることから正則行列であり」
これはA,Bが特別な形をしていない限り正しくありません。
いまいち証明の方針がわからないので何とも言えませんが、
det(AB)=det(A)det(B)
の証明はわりと大変なので、調べるのをおすすめします。
ちらっと証明の方針だけを見てから自力で残りの証明を考える、などもいいと思います。

estj 2年以上前

根本的なところから再度理解し直したそうが良さそうでした.
詳しく教えて頂きありがとうございました.

estj 2年以上前

私の理解力では完璧に理解出来てないとは思いますが証明も色々調べてみました。
しかし先生曰くこの証明は口頭で説明できるようにとの事で数式を使って具体的な証明は使えませんでした…なので多少証明とは言えないかもしれませんが抽象的に説明しないといけなくて

Crystal Clear 2年以上前

調べた感じ
https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%A9%2F%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F#e9d71600
がその方針に沿った証明になっていると思います。