Question

あいうえお

都立高校入試の数学の大問5空間図形の問題です。
写真一枚目が問題で、ニ枚目がその答えなのですが、(2)の解説で、高さhを求めるところ以降がよくわかりません。どなたか教えていただけますでしょうか？

a右の図に示した立体ABCDEFは1辺の長さが6cmの正
八面体である。辺ABの中点をP, 辺BCの中点をQ. 辺
CFの中点をR, 辺FDの中点をS, 辺DEの中点をT, 辺
EAの中点をUとする。次の各問に答えよ。
(間1) ZPQRの大きさを求めよ。
B
D
R
F
度
2)
(問2〕 立体C- PQRSTUの体積を求めよ。
cm°

APQRの体積は、ABCDと APQRの相似比が
13.
さが3cmであるから, その面積は,
v-
27/3
×6=
2
V
立体C-PQRSTUで正六角形PQRSTUを
底面とみたときの高さをhとすると, hは,
正八面体ABCDEFの向かい合う 2つの面
2:1であることから
よって、立体PQRSTUの体積は, V--
8
あるから、正四面体ABCDの体積の一倍である。
16 立体ABCD- MFNとGHEF- NDMは合同だから
立体ABCD-MFNの体積は, 立方体ABCD-EFGH
ACD, FEBの距離の半分である。この2
つの面の距離は, 正八面体ABCDEFを,
次の図のように
の体積の半分で、
27
3-4(cm)
立方体の各面の
22
立体B-DMFNの体積は, 立体ABCD- MFNの体
積から,2つの三角すいABDM, BCDNの体積を
中心(対角線の
D
交点)を結んで
B,
つくると,2つ
ひいて求められる。
27
-(××2-9(cm)
の正三角形JYL
IXZの距離の半 X
7 (間1] 辺CDの中点をMとすると, Tは線分CMの
CD=3(cm)
分である。
この2つの正三角
中点で、CT=-
I
A
K
四角形BCTQは長方形で, その面積は、
形は,長方形
IWYKを考えると、
対角線WKを3等
分することがわか W
BC×CT=12×3=36(cm°)
[問2] 立体BC- PQRSTUの体積は,
立体BC-PQTUの体積の2倍である。辺
BCの中点をNとすると, 3点A, N, Fを
通る平面で立体BC- PQTUを切
F
Y
る。したがって, hは対角線WKの長さの
ことき
で、上の図の立方体の1辺の長さが6/2cm
の断面の面積が
/2
-cm?であるから,立体
であることから。
h=6/2×V3×-=V5(cm)
BC-PQTUの体積は,
9/2 BC+QT+PU
求める立体の体積は、
2
3
/2、12+12+6_
|2
=45V2 (cm°)
3
1、27V3
-xV6 =
2
-2 (cm)
27/2
ミ
10 [問1〕 立体ABCD-MFNは、
よって,立体BC-PQRSTUの体積は,
立体GHEF-NDMと合同だから,その体
積は立方体ABCD- EFGHの体積の半分
2×45/2 = 902 (cm°)
8 (問1〕 BD//PSより, ZAPS= ZABD=60°
63
で、
-=108(cm°)
2
(問2] 四角形PQRSは正方形で,1辺の長さは
3cmである。また, 正方形PQRSを底面と
[問2〕 立体I- DMFNの体積は、
立体ABCD-MFNの体積から, 4つの立体
みたときの立体A-PQRSの高さは,
3/3
2
I- AMD, I- AMFB, I-BFNC, I-CND
V3。
2
-m
-AP=
-Cm
の体積をひけば求められる。
よって,立体A-PQRSの体積は,
×x.(cm)
108-×2×3-x2+6)x6x3
3
2
す×3"x3/3_/3
2
2
1
(6+4)×6x3--×4×6
2
x3
[問1] 六角形PQRSTUは正六角形なので,
180° × (6-2) +6=120°
(問2〕 六角形PQRSTUは正六角形で, 1辺の長
3
2
3
= 36(cm)
25

Answer 1

みと

参考(別解)です。

図を参照してください

●頂点Ａから、平面ＰＱＲＣＴＵに下した垂線の長さは

　　ＱＰの延長とＴＵの延長の交点をＶとして

　正四面体Ａ-ＶＰＵの高さＡＧとなりますので

　これを求めても良いかもしれません。