Question

えむ

(3)の②が分かりません、
解説お願いします🙇
答えは(a=)32 (b=)29です

Step
3
5 自然数をある規則にしたがって並べた表を,下の図のように1番目,2番目,3番目,4番
目,5番目,…の順に作っていく。n番目の表には、上段,下段にそれぞれ自然数がn 個ずつ
並べられている。
このとき、次の各問いに答えなさい。
1番目
2番目
3番目
4番目
上段||1
1
4
1|4|5
8
下段||2
2|3
2
3
6
2|3|6|7
5番目
n番目
1
4|5|8|9
1|4|5|8|9
2
3|6|7
10
*n 個
(1) 7番目の表の上段で、右端から2番目にある数を求めなさい。
(2) 10 番目の表に並べられたすべての数の和から,9番目の表に並べられたすべての数の和
を引いた値を求めなさい。
(3) aを偶数とし,6を3以上の奇数とする。
0 a番目の表の上段で、右端から2番目にある数をaを使った式で表しなさい。
2 a番目の表とb番目の表の,それぞれの上段で、右端から2番目にある数を比べると、
a番目の表の数の方が5だけ大きかった。また,a番目の表に並べられたすべての数の
和は、6番目の表に並べられたすべての数の和より 369 だけ大きかった。このとき,a,
bの値を求めなさい。
【熊本県)
TF。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Clearnoteユーザー

⑶①は、2a−3。また、b番目の上段の右端から2番目の数をbを使った式で表すと2b−2。
このことから、(2a−3)−(2b−2)=5…①が成り立つ。

「aは偶数、bは3以上の奇数」という条件があるが、この条件をいったん無視して、n番目の和Nをnの式で表す。
１番目　 3=3
２番目　10=3+7
３番目　21=3+7+11
４番目　36=3+7+11+15
n番目　 N=3+7+11+15+…+(4n−1)
このように3→7→11→15→…と4ずつ増えているから、n番目の最後の数をnを使って表すと3+4(n−1)で表され、計算すると(4n−1)。
このことから、和の公式
{(最初の数)+(最後の数)}×(数の個数)×(1/2)からNを求めると、
N={3+(4n−1)}×n×(1/2)
N=n(2n+1)
となる。
ここで、「aは偶数、bは3以上の奇数」 という条件から、nが偶数のときがa、3以上の奇数のときがbとなり、それぞれをnに代入すると、a(2a+1), b(2b+1)となる。
従って、a(2a+1)− b(2b+1)=369…②という式ができる。

①②を連立方程式として解くと、a=32,b=29。これは、問題の条件を満たしているのでaが32、bが29となる。

えむ

分かりやすい説明ありがとうございます🙇
助かりました！！

Clearnoteユーザー

こう考えた方が断然、楽でしたね。

a番目の和A
1→2→3→…→(2a−2)→(2a−1)→2a
A=(1+2a)×2a×(1/2)
A=a(2a+1)

b番目の和B
1→2→3→…→(2b−2)→(2b−1)→2b
B=(1+2b)×2b×(1/2)
B=b(2b+1)

よって、a(2a+1)− b(2b+1)=369…②

えむ

どっちも分かりやすい解説ありがとうございます🙇