Question

ともやん

近畿大学附属の平成29年の数学の問題なのですがよくわかりません。よろしくお願いします。
2枚目の写真が解答なのですが、イのところからよくわかりません。

[3-] 次の文を読んで
に適する式,
キ
に適する数を求めよ。
と
けた
2桁の正の整数N に対して, NにNの十の位の数と一の位の数を掛けた数を M とする。
例えば,N = 23 のとき, M=23 × 2 × 3 = 138 であり, N= 51 のとき,
M = 51 ×5×1= 255 である。
2桁の正の整数Nの十の位の数を a, 一の位の数を6とすると, N= 10a+b と書ける。
このときM はa, b を用いてM=
と書ける。すると M<N となるNの個数は
と
個あり,M =4N となるN の個数は
以下,M が正の数となるときのみを考える。
個である。
M が11 の倍数になるN の個数は
個ある.また, M が7の倍数になるN の個数
エ」
は
個であり,M = 777 となるのは N=
カ
のときである。さらに M=42? と
なるのは N=
キ
のときである。

アM=NX(Nの十の位の数) × (Nの一の位の数) %3 (10a+b)×a×b=ab(10 a +b)
イアからM= abNと表せるとわかるので, M<Nとなるのはab<1のときである。 a には1~9までの
日然数,bには0~9までの整数があてはまるから、 ab<1となるのは, a の値に関わらずb=0のときであ
る。したがって,条件にあうNは, aが1~9までの9通り, bが0の1通りだから, 9×1=9 (個)ある。
ウアからM=abNと表せるとわかるので, M=4Nとなるのはab=4のときである。イの解説をふまえる
ど, ab=4となるaとbの組は, (a, b)=(1, 4)(2, 2)(4, 1)の3組見つかる。よって, 条件にあう
Nは3個である。
エ
イの解説をふまえる。 Mが正の数となるのは, aとbが1~9までの整数のときである。 M= abNであり,
Mが11の倍数となるから, Nが11の倍数である。 Nが11の倍数となるのはa=bのときだから, 条件にあうN
は9個である。
オ エの解説をふまえる。Mが7の倍数となるのは, a, b, Nの少なくと
b
1
2|3|4|5 6 7
8
9
も1つが7の倍数のときである。まず, aかbが7の倍数となるのは, 右の
表に○印で表した 17通りである。このほか, Nが7の倍数となるのは, 表
に☆印で表した11通りである。よって, 条件にあうNは17+11=28(個)で
O
a
ある(N=77 の場合を2重に数えたり, N=70 の場合を数えたりしないよう
|0|0|0O|O|O|OO|O|O
に注意すること)。
カ 777 を素因数分解すると3×7×37 となるから, M=777 となるのは,
a=3, b=7, N=37 のときである。
キ 42 を素因数分解すると2×3×7となるから, 42°を素因数分解すると, (2×3×7)?=2?×3°×7°とな
る。素因数に7が2個含まれていることに注目する。
Nが素因数に7を含まない数(7の倍数ではない数)の場合, a=b=7のときしかMの素因数に7が2個含まれ
ない。しかし,これだとN=77 となり, Nが7の倍数ではないという条件と矛盾するので, この場合は適さない。
Nが素因数に7を1個含む数(7の倍数)の場合, aかbのどちらか1つが7である。 しかし, 上の表で調べると,
aかbのどちらか1つが7のときにNが7の倍数となることはない。したがって, の場合は適さない。
Nが素因数に7を2個含む数(7=49の倍数)の場場合, 2桁という条件にあうNは49 か49×2=98である。
N=49 ならば, M=4×9×49=2*×3'×7°となり, 条件にあう。
Kx化s
a
N=98 ならば, M=9×8×98=2*×3*×7'となり, 条件にあわない。
008
よって, 求めるNは, N=49
||o|o0
6lue
o☆
☆ 〇
1-2|3|4|5|6|7|8|9|

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