Question

ぴょん

接点のX座標が2である接線の傾きが最小である時、２a+４/３a=2となるのはなぜですか？

※1枚目が問題用紙、2枚目と3枚目が解答です。
　1枚目の書き込み汚くてすみません…

第2問(必答問題)(配点 30)
aを0でない実数,6, cを実数とする。
関数f(x)= ax + bx°+ cx はx=1 で極大値4をとる。このとき, 2次関数
ソ=f(x)のグラフとして矛盾するものを,次の0~③のうちから二つ選べ。ただ
し,解答の順序は問わない。
ア
イ
>x
ーx
aabac-4
3axzh+ Co0
-x
x
20-bc-4
b-20-4
bとcをaを用いて表すと
2a
b=|ウエオ
カ
キ
C=
ク
となる。ただし,
Q-Ce-8
キ
の解答の順序は問わない。
さらに,曲線 y=f(x) の接線の中で, 接点のx座標が2である接線の傾きが最
と
ク
小となっている。
以上の条件をすべて満たす a, b, cの値は
|200464C-0
(204-8a-16+8+0
5a-8
(数学II·数学B第2問は次ページに続く。)
ケ
b=|コサ
a=
C=| シ
である。以後,このf(x) について次の問題を考える。
20-

第2問 微分法·積分法 (配点 30)
f(x)= ax°+ bx°+cx より
f(x)= 3ax°+2bx+c.
f(x) はx=1 で極大値をとるので,次の(i), (i)がともに成り立つ。
(i)x=1 の前後でf(x) の符号が正から負に変わる。
(i)より,y=f(x)のグラフはx軸と点(1,0)で交わるので, 0, 0, @.
Oいずれのグラフも矛盾はない。
(i)について, y=f(x) のグラフで, x=1 の前後でy座標が正から負に変
わっているのは0と③である。①と②のグラフは x=1の前後でy座標が
負から正に変わっているので, ①と@は(i)を満たさない。
したがって, y=f(x) のグラフとして矛盾するのは 0
であ
る。
f(1)= 0, f(1)=4から
|3a+26+c=0,
la+b+c=4

第3回
7
が成り立つ。
の-3 より 2a+b=-4 となるので
b=|-2a
4
の-3×2より a-c=-8 となるので
1+
8
このとき
f(x)= 3ax?ー2(2a+4)x++a+8
2a+4
3a
2a+4
=3a
+a+8
3a
である。
曲線 y=S(x)の接線の中で, 点 (2, S(2)) における接線の傾きが最小であ
ることから, y=f(x) はx%32 で最小となる.
よって
a>0 かつ
2a+4
=2
そ y=(x) が下に凸の放物線で
x=2 が軸となる。
3a
であるから, a=1 である。
a=1 のとき, b=D-2a-4, c=a+8 から b3D-6, c=9 なので
f(x)=x°-6x°+9x
となり
f(x)= 3x-12x+9
=3(x-1)(x-3).
これより(x) の増減は次のようになる。
x
1
3
S(x)
f(x)
確かにf(x)は x=1 で極大となっている。
したがって,条件を満たすa, b, cは
0
0
4
0
1
b=| -6
a=
C=
9
であり
f(x)=x°-6x°+9x
* f(x) =x(x-3)? となり, f(x)3D
となる。
とすると
x=3(重解),0.
したがって,曲線 y=f(x) は原点
を通り,点(3,0)でx軸と接する。
y=f(x)
-x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

BA1000　数検準1級取得者

点（2，f(2))における接線の傾きはf(2)となる。
最小値を求めるには点（ⅹ，f(ⅹ))における接線の傾きを2次関数f(ⅹ）として表さなければならない。必ず最小値
をとるには下に凸いわゆるU型のグラフになる。∪型のグラフになるには2次関数のⅹ²の係数3aが正でなければならないからa＞0となる。接点x＝2である傾きが最小になるいうことは下に凸∪型のグラフの場合頂点が最小となるから（2a＋4)／3a＝2となる。

BA1000　数検準1級取得者

頂点の座標を導くためにf’(x）を平方完成しています。平方完成の仕方が分からない場合はあおいで下さい。