Question

ぷ

⑵について質問です
僕は与えられた条件の偽を示せればいいから、解答にある、ⅰ ⅱ ⅲのうちどれか一つでも条件を満たさないことを示せればいいなと思っていたのですが、解答では全て示していました
これはやっぱり全て示さなければいけないのでしょうか？
またそうだとすると、僕の何が間違っていたのでしょうか？
教えてください

期内のイン t
2. 区間 [a, b] が関数」(z) に関して不変であるとは,
「定義域が aSzsb ならば, 値域は a<f(x)ハb」の番あ
が成り立つこととする.
きケ開生
F(z)=4r(1-x) とするとき,
(1) 区間 [0, 1] は関数f(x) に関して不変であることを示せ、
(2) 0<a<bく1 とする. このとき, 区間 [a, b]は関数f(x) に関して不
変ではないことを示せ。
政関数
e
方式(九州大)

ゆえ,区間[0, 1] は関数 f(z) に関して不変である。
(2) 0<a<b<1 のとき,区間 [a, b] が関数 f(x) に関して不変であるとす
る。定義域が ahz\b のとき,
() 0<a<bご。
…D なら,f(x) の値域は
y
11
f(a)Sf(z)Sf(6) ゆえ,
S(b)
a=4a(1-a),
b=46(1-6).
a=f(a),
リ=S(x)
lb=f(b).
のから,4a°-3a=0.
S(a)
-20
0 a
4a(a-3
b1
2
=0.
3
a=0,
4°
これらは共に①に不適
) 0<asく
1
-<6く1
.③ なら,
1
fa)
バ(2)S()-1 ゆえ。
リ=f (x)
6)
b=1.
これは3に不適
→20
0
1
b1°
a
2
(面)-くaく6く1 …④ なら, f(z) の値域は
2
f(b)Sf(x)Sf(a) ゆえ,
Ja=f(b),
l6=f(a).
5-6から,
Y
、こる
Ja=4b(1-6), …⑤
[6=D4a(1-a). ..⑥
f(a)
=f(x)
f(b)
a-b=4(b-a)-4(b-a)(b+a).
の (atカー)
0
1a b
2
=0.
れば
ここで,aくb より, b-aキ0 ゆえ,
5
5
a+b-
=0, すなわち, b=-
a.
これを6へ代入して,
5
-a=4a(1-a).
4
. 16a°-20a+5=0.

10土V20
5土V5
01M
a=-
16
8
5±V5
同様にして,b=
8
る る
くあゆえ。 (a, b)=(55. 5ty5).
aくb ゆえ,(a, b)=
8
8
-V5
2</5<3 から,く552(<)。
1
2<V5<3 から,テく
() ゆえ。
4
8
これはのに不適.
以上,(i), (i), ()より, 0<aくb<1 のとき, 区間 [a, b] は関数 f(z) に関
して不変ではない。

二次関数

Answer 1

まる

この問題のことを言い換えると、「0<a<b<1を満たし、区間[a,b]が不変である(a,b)の組み合わせは存在しないことを示せ」という風に解釈できるので、1通りでも見つかってしまったらだめです。そのため、全ての場合を考えなければならないのです。

ぷ

ありがとうございます
ちなみに、そのような解釈はどこから見つけられるんでしょうか？
不変ではない、ということは[ab]⇨a<=f(x)<=bは偽である、ということ同値なのではないのでしょうか？

まる

問題文の命題の対偶を考えてみればわかりやすいかもです。

「0<a<b<1のとき、区間[a,b]は関数f(x)に関して不変ではない」の対偶は、「区間[a,b]が関数 f(x)に関して不変であるとき、0<a<b<1ではない」となります。これは対偶なので元の命題と真偽は一致するはずです。そのため、1つでも0<a<b<1で関数f(x)に関して不変であるものが見つかってしまったらこの対偶を満たしてしまう=元の命題を満たしてしまうということになります。

話は変わって「〜不変ではない」と「a≦f(x)≦bは偽である」とが同値かどうかのことで、細かい違いですが「『定義域がa≦x≦bのとき値域がa≦f(x)≦bである』が偽である」なら同値です。

ぷ

なるほど！
とても理解できました！
ありがとうございました
よろしくおねがいします！