Question

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不定方程式 整数の解を1つ見つけ、それを利用して全ての整数解を求めよ。
3x + 4y = 13
という問題の答えの導き方を教えて欲しいです！

答えは
x = 4n + 3
y = -3n + 1 (nは整数) みたいです。

(この問題の解き方がわからず、
とりあえず私は xに-1 yに4 を当てはめて考えたのですが上手くいかなかったので、
もしこの値で正解を導けるのならばそのやり方ので教えていただけると尚有難いです)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マック堺

xに-1 yに4 を当てはめるとこは大丈夫です。
不定方程式の解き方は
3x+4y=13から3・(-1)+4・4=13 を引いてください。
( 3・(-1)+4・4=13 はxに-1 yに4を代入した式です。)

3 x +4 y=13
-)3・(-1)+4・4=13
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
3(x+1)+4(y-4)=0

となります。
-3(x+1)= 4(y-4)
3と4は互いに素なので
x+1は4の倍数　y-4は3の倍数　とわかります。
これを式にすると
x+1=4n y-4=3n
x=4n-1 y=3n+4
となります。
この式は答えと異なりますが、間違いではないです。
答えと同じにするには、定数の部分にnの係数を足してまたは引いてあげましょう。(厳密に言うとnの係数の倍数を足すまたは引くことができる。) これをしても問題ないです。
この場合だと
xは-1にnの係数の4を足してあげる
yは 4にnの係数の3を引いてあげる
すると答えと一致します。

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解説していただきありがとうございます！

自分の中で引っかかっていた部分や、謎に思ってた部分が全部解決されるような細かい説明をしてくださり、ありがとうございます。
すごく助かりました！！
感謝でいっぱいです🙇