Question

ねえねえ

大学数学、複素関数論、テータ関数に関する質問です。
テータ関数の加法定理の証明がわかりません。
まず、第一段階のh（u）がaにかかわらずh（u+1）=h（u）やh（u+τ）=e^｛-2πi（τ+2u）｝h（u）を満たすことも何故かわかりません。
1つ1つ噛み砕いて教えていただきたいです。

122
第5章 無限和と無限積
191(u+2)9u-x) めくuty)のu-¥)-9,W+)9(-)91 (v+x)191c-ま)
= 0(z-y)0.(2+y)o(u+v)0.(u-v).
[証明] 2,9, uを固定し,左辺を f(u) = fi(u)-fa(u). 右辺を g(u) と書n
てuの関数とみなそう.両辺が同じ擬周期性と零点を持つことを示し,それ
を用いて比F(u)=f(u)/g(u) が定数1に等しいことを導く.
まずん(u) =0,(u+a)0,(u-a) はaにかかわらず
h(u+1) = h(u),
h(u+t) = e-2ri(r+2u)h(u)
を満たしている.したがって f(u),9(u) もこれと同じ性質を持つ.よって
比をとれば F(u+1)= F(u+t)=F(u). 次に「F(u) の極を調べよう. g(u) の
零点は(5.26)からu=±u+m+nT (m,neZ)で与えられる.式の形から
fi(土v) = f2(土v),したがって f(土v) =D 0がただちにわかるので, u=±vで
F(u) は正則である.すると周期性によりu=土u+m+nr でも正則となり,
結局 F(u) は整関数である。ゆえに補題5.23 からF(u) は定数でなければな
らない、u=y とおけば f、(y) = g(y), f2(y) = 0 だから F(u)= F(y) =1が成
り立つ。

複素関数論 テータ関数

Answer 1

哲治

これ前のページありますね？
それと補題もすべてアップしてくれませんか？

ねえねえ

前のページです。

ねえねえ

続きです。

哲治

明日夜に考えて見ます。

哲治

まず最初の質問への回答

ねえねえ

　ほぼ解決したんですが、g（u）の零点がu=±v+m+nτで与えられるところの、m+nτは（5.26）からだとわかるのですが、±vはなぜですか？

哲治

遅くなりすいません。後半は単純なお話です。
こんな感じ。

ねえねえ

補題5.23の任意のuはu=a+bτと表すことができるというのは何故ですか？

ねえねえ

あと、後半の部分ですが、θ_1（u）=0のとき1-2e^｛2nπiτ｝cos2πu+e^｛4nπiτ｝=0なので移項して
cos2πu=（e^｛4nπiτ｝-1）/2e^｛2nπiτ｝=cos2nπτ
で2πu=2nπτになるのかと考えたのですが2mπは周期分とかですか？

哲治

まず１つ目は複素数uを実部と虚部に分けて一般的に書き表してるだけ。

哲治

２つ目はどこのことですか？
お手数ですが手書きで書いてくれますか？

ねえねえ

2つめ関係ありませんでした。（5.26）の証明でした。左の式から右の式を求める証明で、画像のように考えたのですがここに2mπが足されるのは何故なのでしょうか。周期的な話ですか？

ねえねえ

あと、画像の補助的に〜以降のところ、φ（z）がワイエルシュトラスのM判定法により|z|<∞で絶対収束してzの整関数になるというところの証明がわかりません。

哲治

１つ目は当然に周期です。
cosx=cos(×+-2nπ)からです。
２つ目は明日に考えてみます。

哲治

二番目はM判定法というか実は有名な定理があります。
詳しくは資料をアップしておきます。
ユーチューブでタマキさんが動画で詳しく解説してますのでそちらも参考にしてください。

哲治

こんな感じ。

哲治

この問題だとこんな感じ。