Question

@??

矢印の部分の変形の仕方を教えてください🙇‍♀️

(中京大)
146 Lv.★★★
解答は221ページ。
*を正の定数とする。xy平面上を時刻t=0からt=πまで運動する息
P(x, y)の座標が
x= 2r(t-sintcost)
y= 2rsin°t
大老不
であるとき,以下の各間に答えよ。
(の点Pが描く曲線の概形を,xy平面上にかけ。
2)点Pが時刻t3D0からt=πまでに動く道のりSは,
山
*元
2
2
dt
ニ
dt
dt
で与えられる。このとき, Sの値を求めよ。
(3)点Pが描く曲線と×軸で囲まれた部分を,x軸の周りに1回転させて
できる立体の体積を求めよ。
の
G U 0
BG CH
Ho (東邦大)

第49回
AG 媒介変数表示された曲線と体積 Lv. ★★★ .問題は59ページ。
ページ
考え方
(1)媒介変数表示された曲線の概形をかくので, x, yそれぞれを媒介変数t
には、
で微分し、増減を調べればよい。
(2) Sを求める式が与えられているので, まずは計算に必要となる() )を求
coSx
dx
dy
めてみよう。
(3)求める立体の体積は π」y° dx と表される。本間ではx, ッそれぞれが媒介変数t
dt
dt
*2r
数xが
変形す
で表されているので, 置換積分法を用いるとよい。
2-stのカテ(大sかtの大)
解答
Process
dx
2r(1- cos't+sin°t) = 4rsin*t
ont
x)
dt
dx
dy
さらに微分
nia
分す
をそれぞれ求
dt' dt
の(
より,x, yの増減表は次表のようになる。
= 2r·2sintcost= 2rsin 2t
める
t
0
π
2
dx
0
0
1- for大れう
dt
0
2元r
x
Tr
dy
0
dt
0
0
y
0
2r
0
dy
dy
dt
dx
dx
Cost
また,tキ0, のとき
.234大0っ大
sint
dt
dy
dy
lim
t→+0 dx
= +0, lim
t→ズ-0 dx
4w人ね人)
より
ニ-0
よって,点Pが描く曲線の概形は, y4
2r
曲線の概形をかく
右図のようになる。答
dx
(2)()= 16r°sin*t
Tr
2元r x
(金)
dy
= 16r°sin°tcos?t
dt
三
より
第1章
第2章一第3章
縦寸 |無5章 を重
K

"t)
=V16r°sint(sin°t+ cos:
dx
dt
=V16r°sin't
= 4rsint (:" r>0, sint > 0)
であるから
S=4rsint dt =|-4rcost |,= 4r+4r
= 8r 答
回転体の体積を立式す
(3)求める体積は
= 16元r sin°t dt
dx=Dx, 4r"sin't-4rsin'tdt
-2xr
ここで、I=/"sin"t dt と おくとn23のとき
「sin°t dt を漸化式を
用いて計算する
I=/sin"-y- sint dt= |, sin"-!t . (Icost)'dt
- sin-(-cost)+1, (m-1)sin*-*. cos'tdt
=(n-1)(sin"--sin"t)dt
n-!In-2
であるから
In=(n-1)(Im-2-1m)
n
また
1-cos 2t
1ュ=/ sin't dt =/
|て
π
より,求める体積をVとすると
5 3
回転体の体積を計算す
5
V=16xr. Ie=16xr°.
I= 16zr
6
·I2
4
6
る
53
= 16zr.
π
4
2
=5㎡'r
核心は
ココ!ー
sin, cos の n乗の積分を計算するときは
部分積分法で漸化式を求めよ!

Answer 1

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赤枠に n＝6 を代入しています。

@??

ありがとうございます！！