(2)(1)の点Hに対して, 3点O, G, H は一直線上にあり GH=20G
指針>(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で
O0000
1/4
基本 例題30
基本
鋭角
ぞれ
線分の垂直に関する証明
[類山梨大)
基本 23
基本8、
ある。
指針
AH+0, BCキ0, BH+0, CA+0 のとき
であるから,内積を利用 して, A [(内積)3D0] を計算により示す。
0は△ABC の外心であるから, 1OA|=|OB|=|00| も利用。
CHART 線分の垂直 (内横)3を利用
銀分OA
内眼間の
TAHO
解答
解
直角三角形のときは
2C=90° とする。
このとき, 外心は辺 AB上
A
(1) ZA+90°, LB+90° としてよい。
このとき,外心0は辺BC, CA上
にはない。
OH=OA+OB+OC から
AH=OH-OA=OB+OC
ゆえに AH·Bc
2OB+0C).(OC-OB)
のOAN-IOCPー1OBP=0
A
の
0/G
にある
00ABの中点)。
y る関り
B
50+ BC=oC-OB (分割)
0-
A△ABC の外心0→
同様にして
OA=OB=0C(数学A)
BH-CA=(OA+OC). (OA-OC)
=|OAP-|0CP=0
JA
検討A
また。のからAH=OB+OC+0. BH=OA+OC+0
よって, AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 であるから
AHIBC, BHICA すなわち AHIBC, BHICA
したがって,点Hは△ABCの垂心である。
OA+OB+0C
外心,重心,垂心を通る直線
(この例題の直線 GH)を
オイラー線 という。
ただし, 正三角形は除く。
(2) OG=
ビニ-OH から OH=30G
1
3
ゆえに GH=OH-OG=20G
よって, 3点0,G, Hは一直線上にあり
(1)から
OA+OB+OC=0H
GH=20G
から
16
練習
右の図のように, △ABCの外側に
30
AP=AB, A0=AC
428
