Question

@??

解説の赤線を引いた部分はなぜこのように表せるのですか？

99| Lv.★★★
解答は160ページ。
座標平面上の権円号
a°
6°
1(a>b>0)について, 以下の問いに答えよ。
*座標が小さい方の焦点Fを極とし, Fからx軸の正の方向へ向かう
半直線を始線とする極座標 (r, 0)で表された楕円の極方程式r=f(0)
を求めよ。また,点Fを通る楕円の弦を AB とし, 線分FAおよび FB
1
1
の長さをそれぞれrん, rB とするとき, -+
の値は定数となること
TA
TB
を示せ。

である。(1)では焦点Fを極とするので, 楕円上の点P に対してr3DFP, 03(始線と直線
FPのなす角) となる。 (2)は原点0からの距離や2つの線分 OP1, OPz のなず角について
99 極方程式LV. ★★★
問題は42ペ
考え方
の条件が与えられているので, 原点を極とした極座標を考える。
解答
Process
(1)Fの直交座標表示は
(-Vaーが,0) であり, もうー方の
焦点をF'(Vaーが, 0) とおくと,、極
座標P(r, 0) (> 0, 0S0<2x)で表
された楕円上の点について, 楕円の定
義より
P
焦点の座標を求める
10
F
文
rto
PF+PF' = 2a
楕円の定義を利用
PF'= 2a- PF = 2a-r
ここで
0<0<πのとき
SO<2元のとき
より,0キ0, のとき △PFF'に余弦定理を用いると
PF'2= PF?+FF'2-2PF·FF' cos ZPFF
(2a-r)= +(2Vαーが)ー2r·2Va°ー6 cos0
CoS ZPFF'
= cos0
Cos ZPFF' = cos(2π-0) = cos0
余弦定理を用いる
6°
a-Va-が cos
これは0=0のときr3a+vα°-6, 0=πのとき
ア=aーVa°-6°をみたすので, 求め
r=
0= 0, πのときを確か
A
める
る極方程式は
6°
X
ア=
a-Va-b°cos 0
次に,点Aの極座標表示を(ra, 0)と
おくと,B(rB, @+x)となるので
「B
B
|2点A, Bを極座標表
示
1
1
a-Va-cosl , a-Va-b8 cos(0+x)
cの Dest-e Bた
0
TA
"B
6°
6°
a-vaーcos 0_a+Va°-bcosé
6°
6°
20
6°
=(定数)
(証終)
A×
4×