回答

muchとa lotがそもそもほぼ同義(同じ意味)です。

that muchは,muchにさらに〈程度〉を表すthatを加えて,「そんなにたくさん」という意味を表しているので,より日本文の表す意味に近くなります。

つまり,thatがあるかないかです。a lot(またはmuch)単体では不十分ということです。

ちなみに,that a lotとは言えません。

また,thatの代わりに,同じく〈程度〉を表すsoを使って,so muchとしても,ほぼほぼ同じような意味を表せます。

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a lotは、「たくさんの」という意味です。a lotにすると、私はたくさん食べることはできません、という訳になり、少し問題文言ってることが違くなります。

この問題はきっと、「私」がたくさんの食べ物を目の前にして発した言葉であり、こんなにたくさんの量食べれないよ!と思って言ったんだと思います。
a lotには、「こんなに」という意味は含まれていないので、ダメなのではないでしょうか。

とと

説明がうま!

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I can not eat that much =そんなに食べられない
I can not eat a lot =私はたくさん食べれない 
になるので不適切なのでa lot は❌だと思います

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