Question

Eterna Komencanto de Esperanto

T=tanθとするとcos2θ=(1-T²)/(1+T²), sin2θ=2T/(1+T²)で表せるので
点(x,y)=((1-T²)/(1+T²),2T/(1+T²))で単位円
中心1ずらして(2/(1+T²),2T/(1+T²))
原点中心に大きさ半分にして(1/(1+T²),t/(1+T²))
つまりx²-x+y²=0　が表せます。
このときθを全実数とするとTは全実数を取ります。
しかし，単にtを全実数として点(x,y)=(1/(1+t²),t/(1+t²))の軌跡はx=0となることができず上で求めた円から(0,0)が除外されてしまいます。
Tとtは同じ全実数を取るはずなのになぜこのような差が生じたのでしょうか。
1/(1+t²)=0を解こうとすると1=0となりtは求められないが，
1/(1+T²)=0はT=sinθ/cosθとできてcosθ=0となり一応は解が出るのは分かります。しかし，cosθ=0のときtanθの値は定義されないのでこれも結局は解がないように思えます。これが何か関係あるようには思えるのですが……

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

そもそもT=tanθとするとθ=π/2では定義されていませんよ！ だからcos2θもcosπ、つまりずらした円における原点、２θ=πのところででは定義されていませんよ。
だから当たり前のお話です。
そもそも不連続関数T(θ)をパラメータにして、x,yをパラメータ表示すれば当然に不連続関数になります。

Eterna Komencanto de Esperanto

ありがとうございます。Desmosにプロットさせると(0,0)を含むような表示をしていておかしいな？と思っていました。Wolfram|Alphaに1/(1+tan²x)を解かせたところ，x=nπ-π/2となりましたがこちらも正確ではないというべきでしょうか。

哲治

wolfrmでも解無しとなりますよ。

Eterna Komencanto de Esperanto

あら……