9 連立1次方程式/連立方程式の解の存在条件
J(a-2)ェ+4ay=-1
12-(3a+1)y=a
aを実数の定数として,次のz, yについての連立方程式を考える。
]のとき, この連立方程式の解は存在しない。
のとき, この連立方程式の解は無数に存在する
(麗導大)
a=
a=
等式の条件式が1個与えられたら, それを使ってどれか1文字を消去するの
が原則的な手法である.z, yの連立1次方程式の場合, 例えば一方の式からェをyで表して, 他方の式
に代入するとyの1次方程式に帰着できる。
xの方程式 pr=qの解
等式の条件の扱い方
pキ0のときェ=9
p'
p=0かつq=0 のときェは任意,か=0かつ qキ0のとき解なし
■解答
X
JCa-2)ェ+4ay=-1
1ェ-(3a+1)y=a
であり,②により,
=(3a+1)y+a
(a-2){(3a+1)y+a}+4ay=-1
:(3a?-a-2)y=-α'+2a-1
(a-1)(3a+2)y=ー(a-1)?
yの方程式④の解yに対して, ③によりェがただ1つ定まり,連立方程式①か
3をのに代入して,
④ ←方程式の解が存在する·存在し-
いをとらえるには, 実際に求め
うと考えればよい. yを求める
ら,の式を導くところ。
つ2の解(z, y)がただ1つ定まる。
トェリーマ
よって,連立方程式の解が「存在しない·無数に存在する」条件は, ④の解が
「存在しない·無数に存在する」ことと同値である. よって,④から
(a-1)(3a+2)=0かつ -(a-1)?+0, つまり a=-;のとき解なし.
3
(a-1)(3a+2)=0かつ -(a-1)?=0, つまり a=1のとき解は無数。
今注 連立1次方程式の解の存在条件を座標平面で考える方法もある。
Jaz+ by=e…の
lcz+ dy=f…@ I(c, d)#(0, 0)/
コ本間の場合,次のようになる。
のと②が平行(一致も含む)で
るための条件は,
(a, b)キ(0, 0))
一般に,
を考えてみよう。2y平面上で⑦, のは直線を表す.のとのが交われば,その交
点の座標が連立方程式の解である.したがって,
●解が存在しないということは, 直線のとのが共有点をもたない,つまりのとの
が平行で一致しないことと同値。
●解が無数に存在するということは,直線のとのが一致することと同値
ーということになる。
直線のとのが平行である(一致も含む)ための条件は,
(a-2):4a=1:{-(3a+1)}
…-(a-2)(3a+1)-4a=0
. 3a-a-2=0
2
a=ー
1
3'
これらのときのの, ②を求め,
致するかどうか調べる(a=10
ときのみ一致する).
a:b=c:d(→ ad- bc=0)
