Question

まっさん

この問題のzを極形式で(rとθを用いて)解答出来ないか教えて欲しいです。また2枚目の事が言える理由を知りたいです(zは複素数)。

IG
重要 例題29
不等式を満たす点の存在範囲(3)
OO
た式と同値、
S10 を満たすとき, 点zが存
重要5
16
そを0でない複素数とする。zが不等式2<z+
在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
の表す領域。
指針> 2szt
16
S10 と不等式で表されているから,z+
16
は実数である。
を適用して導かれる条件式に注目。
別解
そこで,まず
が実数→
なお,z+
の式であるから,極形式を利用する方法も考えられる。
0のとき
解答
2=r(cos0+isin0)
16
マ+
は実数であるから
別解
(r>0, 0<0<2元)とすると
16
16
え+
=z+
る
16
つ実部。
16
16
え+
2
よって
+2=ニ+
(z-z)|zf-16(2-2)30
(z-2)(l2f-16)=0
(2-2)(|2|+4)(la|-4)3D0
または ||=4
[1] =z のとき, zは実数である。
ゆえに zピ+16z=z|z}+16z
-(+)os0
+(-) sino
16
よって
11l2
2), Al
16
ゆえに
よって
AP<
16
は実数であるから
え+
したがって
点A
等分線
こある。
2
ス=ス
イ2|>0 から,
|2|=-4は不適。
16
=0 またはsin0=0
rー
r
16
が成り立つための条件は2>0であり,このとき
すなわち r=4 または0==0
または0=π
2<z+
(相加平均)2(相乗平均)により
16
22,
16
=8
[1] r=4のとき
る
16
z+
-=8cos0
(等号はz=4のとき成り立つ。)
16
すなわち, 2<z+
よって,2<8cos0<10 と
-1Scos0<1から
は常に成り立つ。
16
A10を解くと, z?+16<10z から
-Scos0<1
ス>0のとき, z+
[2] 0=0 のとき
2<zS8
(2-2)(z-8)三0
[2」 a|3D4 のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に
したがって
16 16
ス+
=r+
2
r
16
=ス
よって,2<r+
16
<10
r
ある。22=4° であるから
16
ら 2SrS8
2<z+
-A10から
2<z+z<10
[3] 0=πのとき
ど
16
ス+
16.
ス十z
Tゆえに
1S-
- A5
r+
r
ニー
2
x
これは条件を満たさた
以上から,左図の太線音
すなわち
1S(zの実部)<5
0|11 2 /4
[1], [2] から, 点zの存在する範囲は,
右図の太線部分。
-4

2
2c
って
2+2
はzの実部。
えい

Answer 1

Suya

z=r(cosθ+isinθ)は右の別解のとこにあるので分からないとこがあれば聞いてください。

x,y実数として
z=x+yiとおくと
zバー=x−yi

つまり

z+zバー=x+yi+x−yi=2x
∴(z+zバー)/2=x=(実部)

まっさん

ご丁寧にありがとうございます。
別解の図示の仕方がわからないです。
出た複数の範囲を複素数平面にどう落とし込めば良いでしょうか？

Suya

(1)について
z=r(cosθ+isinθ)
lzl=lr(cosθ+isinθ)l
lzl=lrl
r=4のとき、lzl=4
つまり、これは原点中心の半径4の円を表します。
また、このとき
1/4≦cosθ≦1
⇔r/4≦rcosθ≦r
⇔1≦rcosθ≦4
となるので、実部が1〜4であることがわかります。

これらをまとめると(1)はこのように言えます。
原点中心の半径4の円上の実部が1〜4の部分が図示する範囲

(2)について
θ=0より
z=r(cos0+isin0)=r
(rは実数よりzも実数)
2≦r≦8より2≦z≦8
zは実数だから(2)は実部の2〜8が図示する部分であると言えます

これらを複合して図示すれば終了です。

まっさん

ありがとうございます！