Question

もちも

(1)はA=0だと思ったのですが、それ以外の（２）（３）が全然わからないので教えていただきたいです。

1. A, B, P, Q をn次正方行列とし, rankA < rankB < rankP
= rankQ = n とする.このとき,以下の問いに答えよ。
(1) 以下の条件を満たす行列 Aが存在するかどうか判別し,存在する場合は具体例を与えよ。
条件:間いの条件を満たす任意のBに対して, AB = A.
(2) AB = Bとなる A, Bが存在するかどうかを判別し,存在する場合は具体例を与えよ。
(3) 条件 PA= BQを満たす A, B, P, Q が存在するかどうかを判別し,存在する場合は具体例を与えよ。

線形代数 線形代数学 大学数学

Answer 1

Crystal Clear

(2) rankB=bとおく。次元定理より一次独立なb個のベクトルe1,e2,...,ebが存在して、Bei たちは一次独立。(ImBを張る)
AB=B とすると
(AB)ei=Bei
A(Bei)=Bei
Beiたちは一次独立だから、dim(ImA)≧b
ゆえに rankA≧rankBとなり、rankA<rankBに反する。

(3)rankがnの行列(正則行列)をかけてもrankは変化しない。
よ

Crystal Clear

よってPA=BQならばrankA=rankBであり得ない。

Crystal Clear

知らないなら調べてみてください。
標準的な教科書には載っていますし、ネットにも書いてあります。
線形代数の基本的な定理です。

Crystal Clear

正確には次元定理そのものではなくて、rankとImの関係さえ理解していれば、読めるはずです。
より簡単な解法もありそうですが、ちょっとわかりません

(3)行列の基本変形でrankは変わりません。(これの証明は多分習っていると思います。)
また、基本変形とは正則行列をかけることと同じであることも習います。
この2つから正則行列をかけてもrankは変わらない

もちも

更新が上手くいかずたくさん削除してしまってすみません。ありがとうございます！