Question

解決したならベストアンサーしなさい

500以下の自然数のうち、正の約数が15個である数の個数の求め方を教えてください。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

約数の個数の公式を使います。
素因数分解して
①2つの素因数に分解できる数(45=3²×5等)
②3つの素因数に分解できる数(360=2³×3²×5等)
③4つ以上の素因数に分解できる数を考えます。
4つの素因数に分解できるとき最低でも(指数が全部1でも)約数の数は
(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=16
となって、どう頑張っても約数は16以上となるので、①②のどちらかになります。
①のときx,yを素数とし, a,bを1以上の整数としたとき
N=(xのa乗)×(yのb乗)と素因数分解できるとすると
(a+1)(b+1)=15
(a+1,b+1)=(1,15)(3,5)(5,3)(15,1)
(a,b)=(0,14)(2,4)(4,2)(14,0)
となりますね。
xとyが素数である以上、2よりも大きくないといけないですが、2の14乗は500よりも明らかに大きく、14が入るやつは考えません。
また、x,yに大小をつけていないので、xの2乗×yの4乗とxの4乗×yの2乗は同じ意味なので、考える数を減らすためにxの2乗×yの4乗のみ考えることにします。
考えられる素数の組(x,y)の組み合わせは
3の4乗=81, 5の4乗=625より
(2,2)(2,3)(3,2)のみですね。

②のとき, (xのa乗)×(yのb乗)×(zのc乗)として
(a+1)(b+1)(c+1)=15
かけて15という奇数になる以上、aもbもcも1や3や5などの奇数ではなく、1つが(aが)2のとき、残りの2つの積が5になるので、どうしてもどちらかが1になってしまいます。
1つが4のときも同じことで、残りの積3を作るにはどうしてもどちらかが1になってしまいます。
6以上のときは7×いくつや9×いくつとなり、15にならないので、この場合条件を満たすような数はありません。
ゆえに
2の2乗×2の4乗=256
2の2乗×3の4乗=324
3の2乗×2の4乗=144
のみですね。

間違っていればすみません。

解決したならベストアンサーしなさい

答えはこうなっているんですけどどうなんでしょう

ブドウくん

3個であってるのでいいんじゃないですか？

ブドウくん

答えとやっていることは全く同じです。

解決したならベストアンサーしなさい

13行目の(a＋1)(b＋1)＝15となるのはなぜですか？

ブドウくん

約数の公式から求まります。
指数に1を加えたものを掛け合わせたものが約数の個数15になるという、約数の個数の公式そのものです。

解決したならベストアンサーしなさい

授業で習ってない範囲なのでよく理解できず何回も質問してごめんなさい

(a,b)＝(2,4)になると、(x,y)＝(2,2)(2,3)(3,2)になるのはなぜですか？

解決したならベストアンサーしなさい

また、②のとき1が出てくると条件を満たさないのはなぜですか？

ブドウくん

全然構いませんよ。
約数の公式
https://youtu.be/mr1pP0HPBKI
も参考にしてみてください。

それから、指摘のとおり、少し上の解答に誤りがあることに気がついたので、その辺りもちゃんと訂正しようと思うので、少し時間が欲しいです。申し訳ないです。

解決したならベストアンサーしなさい

丁寧にありがとうございます🥲

ブドウくん

まず、僕の間違いはどこかというと、1つの素因数から構成されるパターンを考えていないこと、それから素因数分解をしているわけだから、当然xとyが同じ数字になってはいけないこと、素因数が2つあるケースで(5,2)を数え漏らしていたところです。それを踏まえて、答えを書き直し、質問いただいていたところを詳しく補足したものを写真に載せました。

混乱させてしまって申し訳ないです。何か質問等あれば、遠慮せずにコメントしてください。それから、上の解説ではx,yにしていますが、写真ではp,q,r...にしてしまいました。同じことであり、深い意味はありません。

解決したならベストアンサーしなさい

詳しくありがとうございます
理解できました！