Question

タカムー

基礎問題精講の積分です。(4)の、青線部分のところ、どうして　y　になるのですか？

ま
フリクションライト
202
問
第6章 積分法
111 面積(VII)
f(t)=e*+e-", g(t)=e*-e-* (-8<t<)とする。
(1) f(t)の最小値を求めよ。
(2) {f(t)}?-{g(t))? の値を求めよ0
(3) 媒介変数tを用いて, エ=f(t), y=g(t) と表される曲線をCとも
る。このときCの概形を図示せよ。X
(4)t=-1, t=1 に対応するC上の点をそれぞれA, Bとする。漁a
AB と曲線Cによって囲まれる図形の面積Sを求めよ。
面積に関する最後の問題です。かなり難しいかもしれませんが、ま
精講
導に従ってチャレンジしましょう.
(1) 微分してもよいのですが,「e*>0, e-*>0」に着目すれば…
(3)(2)から曲線Cは双曲線(3)であることがわかり,(1)から,双曲線のどの
部分が適するかがわかります。
(4) 媒介変数で表された関数について,その関数のグラフと2軸とで囲まれた
部分の面積は |yldz で表せます。
解
答
(1) e'>0, e-*>0 だから, 相加平均之相乗平均より
f(t)=e*+e-*22/e.e-*=2
(等号は,t=0 のとき成立)
ゆえに f(t)22となり,最小値2
注「f(t)22」から, すぐに「f(t) の最小値は2」といってはいけませ
ん.「f(t)>2」は「f(t)>2 または f(t)=2」 という意味ですから、
『f(t)=2 になるtの存在(ここでは t=0) を述べなければなりません。
ただし,微分して増減表をかいた人には, この作業は不要です。
「相加平均之相乗平均」を使えば,早く答えにたどり着くかわりに,
論理的なワナにかかる可能性があるということです。
(2){f(t)}?-{g(t)}?=(e*+e-)?-(e*-e-)?
下の注
=(e*+2+e-2)-(e2t-2+e-2)=4
(別解){f(t)}?-{g(t)}?={f(t)+g(t){F(t)-g(t)}=2e*.2e-'=4

203
(3)(2)より
また,(1)より r2
よって,Cは, y=±x を漸近線とする
頂点(土2, 0)の双曲線の右半分。
-y=4
9=x
よって,右図、
Y=ー
t=1
B(e+e", e-e-') だから, Sは
右図の斜線部分の面積を表す。
ここでグラフがェ軸対称だから y20
で考えればよい.
B
t=0
dete-!
rete-1
: S=2J)。
dr
Y=ー
t=-1
ここで,y=e'-e-t と置換すると,
グラフより,z:2→e+e' のとき
de
t:0→1 また,
=f(t)=e*-e-t
dt
S=2(e*-e-)-(e*-e-)dt=2[° (e"-2+e-")dt
-le-4-e-e-4-e"
rete-1
と置換してもできます。
注 V-4 dz の積分は z=t+-
2
のポイント
媒介変数で表された関数と軸で囲まれた部分の面積
は Jlldz として, 置換積分
48

積分