例題112 軌跡(6)…反転
OP 上に OP·OQ =2 を満たす点Qをとるとき,点Qの軌跡を求めよ
例題109
《Action 動点Pに連動する点の軌跡は, P(s, t) とおいて s, tを消去せよ
I 軌跡を求める点 → 点Q(X, Y) とおく。
それ以外の動点 →点P(s, t)
与えられた条件をX, Y, s, tの式で表す。
条件の言い換え
とおく。
の
Q(X, Y)
2
【P(s, t)
条件の → 2s+4t-1=0
[X = as
(a> 0)
条件の →点Qは半直線 OP上にある
[Y = at
条件の→?+ X°+Y° =2
3 2の式から, s, t, aを消去して, X, Y の式を導く。
4 除外点がないか調べる。
する
です
解点P(s, t), 点Q(X, Y) とおく。
点Pは直線1上にあるから
点Qは0を端点とする半直線 OP上にあるから
X= as, Y = at (a>0)
2s +4t -1=0
の
ベクトル(数学B) を用
いると
X
S=
Y
t=
a
OQ= aOP(a>0)
と表すことができる。
とおくと
a'
のに代入すると
2X
4Y
-1=0
a
a
よって
a=2X+4Y
3)
OP-OQ =2 より
V+X+Y"=
2を代入すると
=D2
a
よって
X°+Y? = 2a
=2
3を代入すると
よって X° +Y? = 2a
X°+Y? = 2(2X+4Y)
(X-2)°+(Y-4)。 %3D20
ここで,(X, Y) キ (0, 0) であるか
ら,求める軌跡は
円(x-2)+(y-4)° = 20
ただし,点(0, 0) を除く。
する
ゆえに
半直線 OP上に点Qを
OP·0Q = (一定)
となるように定める。こ
のとき点Pを点Qに対
応させることを反転と
いう。
x
練習112 原点0と異なる点Pに対して, 0を端点とする半直線 OP 上に, OP-0Q=4
を満たす点Qをとる。点Pが直線 y==2 上を動くとき、点Qの軌跡を求のり
196
p.222 問題112
ン
思考のプロセス」
