Question

M

この問題の⑴の波線のところがわからないのですが？どうして2、5、10のいずれかだとわかるのでしょうか？？

研究問題
2つの自然数a, bの最大公約数をg, 最小公倍数を1とすると, α'+ぴ+g+パ=1300 が
成立する。ただし, a>bとする.
(1)g>1 のとき, a, bを求めよ.
(2) g=1 のとき, a, bを求めよ。
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研究問題
a=ag, b=bg (ただし α'とb'は互いに素
でa'>6)とおけて, このとき, 1=a'b'g
これを与式 a°+6°+g°+1°=1300 に代入
して整理すると,
a°g°+6°g?+g°+a"b"g° =1300
:(a"+1)(6?+1)g°=1300 ……
いま,1300=2?×5?×13 であるから, 1300
の約数は3×3×2=18個あり, それらは,
1,2,4,5, 10, 13, 20, 25, 26, 50
52, 65, 100, 130, 260, 325, 650, 1300
である。(○をつけたものは自然数の平方+1
の形の数)。
(1)g>1のとき, ①式から, g=2, 5, 10 の
いずれかである。
(ア) g=2のとき, ①より
(a?+1)(6?+1)=325.
これよりa?+1=65, 6'?+1=5
[上の○印がついた数のうち, かけて 325 に
なるものをさがす。]
で,a'=8, b'=2. これはα' とb'が互いに
素でないから題意に適さない。
1) g=5のとき, (a"+1)(6°?+1)3D52 で
このとき,a'?+1=26, 6'?+1=2
ゆえに, a'=5, b'=1となって,
a=ag=25, b=b'g=5
(ウ) g=10のとき, (α'"+1)(6'2+1) =D13|
より,これを満たすa, b' は存在しない。
(2) g=1のとき, ①式から,
(a'?+1)(6?+1) =1300 で, これより,
a'?+1=50, 6'?++1=D26.
ゆえにa'=7, b'=5で, g=1 より,
a=7, b=5
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