Question

ganbaru

(1)教えて欲しいです。

8次の方程式を解け. ([教科書, 練習問題 1, [A], 4.])
(1) 24= -1
(2)233i
(3)223D1+ +

Answer 1

mo1

参考です

(1) z⁴＝－1

　解を　z＝r[cos{θ}＋isin{θ}]　〔r＞0〕とすると

　　　 z⁴＝r⁴[cos{4θ}＋isin{4θ}]

　また　－1＝1[cos{π}＋isin{π}]

　ゆえに　r⁴[cos{4θ}＋isin{4θ}]＝1[cos{π}＋isin{π}]

　両辺の絶対値と偏角を比較すると

　　　　r⁴＝1、4θ＝π＋2kπ　〔kは整数〕

　r＞0　であるから、r＝1　また、θ＝(π/4)＋(k/2)π

　よって、z＝1[cos{(π/4)＋(k/2)π}＋isin{(π/4)＋(k/2)π}]･･･①

　0≦θ≦2π　の範囲で考えると、k＝0，1，2，3

　①で、k＝0，1，2，3　としたときの zを z₀，z₁，z₂，z₃　としたとき

　　z₀＝1[cos{(1/4)π}＋isin{(1/4)π}]＝(√2/2){1＋i}　　

　　z₁＝1[cos{(3/4)π}＋isin{(3/4)π}]＝(√2/2){1－i}

　　z₂＝1[cos{(5/4)π}＋isin{(5/4)π}]＝(√2/2){－1＋i}

　　z₃＝1[cos{(7/4)π}＋isin{(7/4)π}]＝(√2/2){－1－i}

mo1

最後の2行の終わりの部分正負の訂正です

　　z₂＝1[cos{(5/4)π}＋isin{(5/4)π}]＝(√2/2){－1－i}

　　z₃＝1[cos{(7/4)π}＋isin{(7/4)π}]＝(√2/2){－1＋i}