Question

さく

x→x-b/2aと変換して√y^2+1,√1-y^2,√y^2-1の形になるのかが分かりません。
また、4行目以降の変数変換したら三角関数の有理関数の積分になるのと、帰着させるというのも分からないので教えてください。

やってみた。
「弟一便,
b
と変換し
ただし,ここで
一般に,Vaz+ bx+c という二次無理関数が出てきたら, エHI-
た上で適当に定数倍することで, /?+1, 1-y?, またはVyー1の形に直せる。
その上でVy+1 とV1-y° は上の例のようにそれぞれy= tan0 とy= sin@で,
2a
げて,楕円積分
複素数を許そう
係数を広げる
みると納得でき
数の積分として
y-1 はy=
1
で変数変換すればθの三角関数の有理関数の積分になる。
COs 0
0
その上で,上記のようにt= tan
という変換で有理関数の積分に帰着させる

Answer 1

らい

x→x+b/2aとすると
√(ax^2+〇)
の形になります。後はこのaや〇の符号によって、置換した時にy^2+1,1-y^2,y^2-1などのパターンに分かれます。

√(y^2+1)型のとき、y=tanθとすると
√(tan^2θ+1)=√(1/cos^2θ)=|1/cosθ|となり√が外れて無理関数から有理関数に変わります。他の置換でも同様に√が外れます。

tanθ/2=tとすると、sinθ,cosθ,dθなどがtを用いて表され、三角関数を含まない有理関数に変形できます。三角関数を含むすべての有理関数はこのtを用いて別の有理関数に変形して解いていくことができるので、最終的にその変形にすることを本文では「帰着させる」と言っています。

さく

解説ありがとうございます。
x-b/2aで置換するということですか、、？
3つのパターンに分かれるのは既に決まっていることでしょうか。また質問になりすみません。

らい

置換先に同じxがあるのでややこしいですが、
x→u+b/2a
と置換するのと同じです。
aや〇の符号により√の中身が
(a,〇)=(正,正),(正,負),(負,正),(負,負)のいずれかになりますが、(負,負)の時は√の中身が負になり、複素積分になるので3パターンのいずれかになります。

√(2x^2+3)=√{3(2/3x^2+1)}=√[3{√(2/3)x}^2+1}]
のようになり、√(2/3)x=tとすると
√{3(t^2+1)}のように、√(t^2+1)の√3倍という形の定数倍の形になります

さく

理解出来ました。
具体例もありがとうございます。