もっと大雑把に考えた方がわかりやすいですね笑、置換の積だから成分の行(または列)が入れ替えられているだけ。すなわち元々の行列式のマイナス1倍が繰り返される。この符号がはsgn(τ)。あれ、1組の行が入れ替わるとマイナス1倍になるのがわからないや、これ定理だよね？
写像として表現すれば、
Sn∋σ→τσ∈Sn は全単射ということを使っています。
うんん、まだまだ学習不足見たいです…😅
全単射という言葉を初めて聞きました！線型空間の学習がほぼ手をつけていないので、ここを触ってみるとイメージつきますかね？
全単射は線形空間で話は出てくると思いますよ。
σ∈Snで和を取るということは、Snのすべての元σ∈Snに対して、
Σの中身を計算して足し上げるということです。
σ∈Snを動かしたとき、τσ∈Snを網羅的に動かないとどういうことが起きるか考えてみましょう。
このとき、τσという形で表せないσ∈Snが存在するということです。
そうすると、Σで足し上げるべきσ∈Snが足りないということが起きます。
さらによく考えると、あるσ∈Snについては二重に足し上げるということが起きます。
しかし、τσは網羅的にSnを動いてくれるので、足し上げの際の不足する項や重複する項がなく、結果一致するということになります。
度々質問、申し訳ありません。
《τσは網羅的にSnを動いてくれるので、足し上げの際の不足する項や重複する項がなく》、『結果一致するということになります。』
Takさんのおかげで、《》内は理解出来ました!!
しかし、『』内がわからないです。
σと積の置換であるτσの結果は同じにならないと思います。そもそも僕の捉え方が違う気がします笑。もう少し教えて頂きたいです🙏
一般に、σ≠τσですよ。
重要なポイントは、
σ∈Snを任意に取ったとき、
σ = τσ' となる σ'∈Sn が存在することです。
この性質を写像の言葉で言う全射性にあたります。
また、先ほど説明した重複しないというのが単射性にあたります。
全射かつ単射で全単射になります。
ごめんなさい。わかんないです笑笑
もっと勉強します!!たぶん転置行列の行列式の定理の証明もこれと同じことが出てくるんですけど、そっちは納得いくんですよ笑
理解力不足で申し訳ないですが、すごく助かりました!!
いまいち理解ができない場合は、具体例を試してみるのがいいですよ。
n = 3あたりで、Snをすべて書き出してみて、τσを計算してみてください。
すると、
Sn = {τσ∈Sn : σ∈Sn}
となることがわかると思います。
自分なりにこの定理は理解出来ました！
でも、本紙の記述だとσがSnを動くかつτσもSnを動くとき、τσより変換された行列式とσより変換された行列式が同じものって言ってる風に捉えられませんか？