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こういう類のものは答えを微分してみるとわかります。
sin x, (-1/3)sin³xをを微分すると、1, -sin²xにはなりません。
微分するとそれぞれ、cos x, -sin²x cosxとなります。
ではこのcos xがどこから出てきたのかと言うと、sin xの微分です。sin x, (-1/3)sin³xをx, -1/3x³をただ微分するようにしてはいけません。三角関数やその累乗を微分するときは、必ずそのsin xなりcos x単体を微分して掛ける必要があります。
積分は先程の微分を逆に考えればいいんです。
教科書を見ると置換積分としてtを用いたやり方が載っていると思います。ですが、sin x, cos xを積分するときは微分された(sin x)'や(cos x)'が材料として必要で、これがないと単純にxを積分するようにはできないと思って解くとやりやすいですよ。
置換積分できるものは、この微分の形を使うとより速く解くことができます。(一部、できない場合もあるので万能ではない。)
例えば、
∮logx/x dxを解くときに
∮logx/x dx=∮logx・1/xdx
=∮logx(logx)'dx
=(logx)²/2+C (Cは積分定数)
とこんなふうに、置き換えることなく解くことができます。
あとは、
∮sin³xdx=∮sin²x・sinxdx
=∮(1-cos²x)sinxdx
↑
この時に、「1-cos²xを積分するには(cosx)'が必要だなー。」と頭で考えて、見つけ出します。
すると、sinx=-(cos x)'ということに気づいて、「ラッキー！」と思いながら解いていきます。
=∮(1-cos²x)-(cosx)'dx
=-∮(1-cos²x)(cosx)'dx
=-(cosx-cos³x/3)+C
= cos³x/3-cosx+C
という様になります。
この方法のコツは強引に微分の形を作ってしまうことです。マイナスやそのほかの係数は∮の前に出して、後から計算すれば良いので気にする必要はありません。
問題をこなしていくと、「これは微分の形を作ればいけるなー。」と直感でわかってきます。
以上のやり方は合成関数の微分・積分といって、教科書にも詳しく書いてあると思うので、ぜひ熟読してみてください。
とても丁寧な説明本当にありがとうございます！！
まだまだ実力が足りないなって思ったので演習頑張ります！
本当はベストアンサーにさせていただきたかったのですが何かのトラブルで気付いたらベストアンサーが決まってしまってました…すみません🙏
本当にありがとうございます！！！
応援してます！
回答ありがとうございます！！
中微分？みたいなやつが必要ってことですよね…？
いつも忘れちゃうんですlogの微分の時とかも…🥲
微分の形を作るのが苦手なのですが、どんな時に微分の形を作ると便利とかってありますか？